1.13 - Da
Eraclito, Pitagora e Leibniz alla matematica e alla geometria dei frattali.
(.htm)
Il titolo dà già un’idea precisa
della direzione in cui intendiamo muoverci.
L’intento è quello di far cogliere
al lettore il filo di continuità che lega la recente geometria frattale con
quelle che a suo tempo erano autentiche provocazioni logiche di alcuni filosofi
dell’antica Grecia.
Quando avremo messo a fuoco i
possibili collegamenti tra la metalogica di Pitagora e quella geometria
frattale che con i suoi algoritmi sembra, per tanti versi, suggerirci che la
visione pitagorica può essere ancora oggi un modo affascinante di tentare una
risposta ai perché della vita, potremo utilmente dare uno sguardo alla
macrobiotica, intesa come dottrina filosofica che giustifica precise scelte sul
piano dietetico che presuppongono, come base di partenza, proprio questi
principi che la logica comune definisce paradossali.
Su Zenone, Anassagora e Democrito forniremo solo pochi cenni
perché qui cercheremo di individuare nei tre filosofi presocratici soltanto il
denominatore comune su cui innestare la teoria frattale.
Zenone
Zenone è noto come filosofo
provocatore per avere messo in luce senza riserve l’inconciliabilità tra
pensiero dell’uomo, quando questo pensiero segue con un certo rigore la logica,
e la visione del mondo che i nostri sensi ci permettono di avere. Di lui si
raccontano diversi esempi che sottolineano l’esistenza di questi problemi
irrisolti: noi ne citeremo soltanto alcuni, anche qui rapidissimamente.
Quello di Achille e la tartaruga: se
noi abbiamo, dice Zenone, nel punto A Achille e nel punto T, più avanzato nella
direzione del percorso, la tartaruga e insieme Achille e la tartaruga scattano
in avanti nella stessa direzione, dice Zenone, Achille, il piè veloce Achille,
non raggiungerà mai la tartaruga, perché Achille deve prima percorrere il
tratto da A a T e quando sarà arrivato a T, noi chiameremo A1 il
momento di Achille; nel frattempo però la tartaruga sarà arrivata a T1
a sua volta; a questo punto Achille deve percorrere A1–T1,
e superando questo A1–T1, Achille arriva ad un A2
e la tartaruga arriva a un T2: è chiaro che andando avanti in questi
termini, si va avanti all’infinito, perché il concetto stesso di spazio implica
la divisibilità all’infinito.
Secondo esempio: la freccia che
viene scagliata dall’arco verso il bersaglio, dice Zenone, non può arrivare al
bersaglio perché la freccia compie il tragitto dall’arco al bersaglio in un
tempo t, ma questo tempo t è costituito di attimi e in ogni attimo, che per
definizione è un atomo indivisibile senza alcuna durata di tempo, la freccia è
necessariamente ferma in un certo punto dello spazio e Zenone si chiede come si
fa, facendo la somma pur infinita di attimi di immobilità, a completare un
tragitto, perché 0+0+0… (perché, se è ferma, lo spazio che percorre è zero),
darà sempre risultato nullo.
Zenone voleva sottolineare il doppio
problema: o il mondo che noi vediamo non è esattamente come lo vediamo, oppure
quel pensiero, quella coscienza che fa dell’uomo un animale più evoluto è
proprio un handicap, perché se io lo uso con un rigore che supera una certa
soglia mi porta a leggi e regole che il mondo non rispetta.
In realtà la radice della
complicazione si trova nel fatto che Zenone parte dal finito, la distanza tra
l’arciere e il bersaglio, la distanza iniziale che separa Achille dalla
tartaruga… e poi, dalla realtà concreta, sposta il suo ragionamento sul piano
dell’infinito: l’infinita divisibilità dello spazio, che separa alla partenza
Achille dalla tartaruga e l’infinita divisibilità del tempo, che la freccia impiega
per arrivare al bersaglio, e le constatazioni, che noi facciamo sul piano
dell’infinito, non hanno riscontro sul piano della realtà concreta.
Zenone aveva anche intuito la
dimensione della relatività, quando faceva l’esempio dei due cavalieri che, sulla
strada, si incrociano al galoppo proprio in corrispondenza di un osservatore
seduto a terra vicino ad un obelisco e nel momento in cui una cinghia di cuoio
dei due cavalieri colpisce sia l’altro cavaliere che lo spettatore, che è lì
seduto, Zenone osserva che il colpo ha una forza diversa per il cavaliere
rispetto all’uomo seduto, perché il cavaliere lo percepisce con una forza
doppia dal momento che si sommano le velocità dei due cavalli, mentre per lo
spettatore si ha la velocità di un solo cavallo e il filosofo pone il problema
di quale sia la valutazione corretta del fenomeno.
Fermiamoci qui, perché adesso non ci
interessa andare oltre sul pensiero di Zenone.
Anassagora
Anassagora e Democrito rappresentano
due diversi modi per uscire dai paradossi di Zenone; quello di Anassagora è
filosoficamente più evoluto, più impegnativo, perché è giunto a smaterializzare
il mondo: come dire, se vogliamo stringere in estrema sintesi, è giusto il
nostro pensiero e la logica che lo sorregge, ed è “sbagliato” il mondo che noi
vediamo. Con questo Anassagora non intende affermare che il mondo non esiste,
semplicemente dice che non è come noi lo vediamo con i nostri strumenti di
percezione, e per dire questo Anassagora elabora una visione del mondo che è,
in un certo senso, l’intuizione di quello che sarà il discorso di Leibniz,
ovviamente non così perfezionato.
Anassagora afferma che il mondo è
costituito di infiniti semi, assolutamente immateriali, perché solo così si
possono superare le difficoltà già messe in luce da Zenone tra la coerenza
logica, che il nostro pensiero utilizza come strumento di valutazione, e la
percezione del mondo dataci dai nostri sensi.
Leggiamo una sua citazione:
“In effetti del piccolo non c’è il minimo, ma sempre un
più piccolo, poiché ciò che è non può diventare non essere.”
(Diels, 59 B,
3)
E’ vero ed è giusto parlare di
infinita divisibilità dello spazio: se lo spazio è realtà oggettiva, per quanto
piccolo, potrò sempre immaginare di dividerlo ancora ulteriormente; potrai
dirmi che non abbiamo gli strumenti necessari per andare ancora a suddividere
quella dimensione così ridotta, ma questo non vuol dire che su un piano di pura
logica non sia divisibile ulteriormente, perché se lo spazio è realtà, non può
diventare non realtà.
“Ma anche del grande c’è sempre un più grande ed è uguale
in estensione al piccolo.” (Diels, 59 B, 3)
Ecco l’altro paradosso di
Anassagora, che si oppone a Zenone: come Zenone ci metteva di fronte ad una
constatazione inaccettabile, così Anassagora afferma provocatoriamente che il
più grande è uguale al più piccolo: in realtà il problema sparisce se solo
teniamo presente che egli parla dei semi di cui è costituito il mondo,
che poi successivamente verranno definiti come omeomerie. Questi semi
sono immateriali.
Per cogliere la coerenza delle
affermazioni del filosofo presocratico, prendiamo in considerazione il nostro
pensato: possiamo definirlo come un piccolo pensiero, nel senso che lo pensiamo
un attimo e poi, invece, per tutto il giorno siamo concentrati su un grande
pensiero, un grande problema, ma in realtà, per quanto piccolo, il pensiero
precedente, che per un attimo mi ha sfiorato, io lo posso recuperare
approfondendolo al punto di farlo diventare un progetto di vita. Sul piano
immateriale la differenza grande/piccolo non ha più senso, i pensieri
coesistono e possono coesistere infiniti grandi pensieri, nel senso che sono
sempre presenti e accessibili alla mia coscienza che, in nessun momento, può
essere definita colma, al punto da non poter più ospitare un nuovo pensiero.
Secondo Anassagora questi semi
hanno costituito il mondo sotto la spinta di una Mente, che egli chiama il Nous:
è Dio, è un modo, se pure ancora vagamente antropomorfo, filosoficamente meno
ingenuo di intendere Dio come principio ordinatore del mondo, e questa
definizione di Dio si avvicina in qualche modo alla definizione suggerita poi
da Plotino, quando parlerà dell’Uno. Anassagora afferma:
“L’intelletto è separato, a nessuna cosa è mescolato, ma è
solo, lui, in se stesso, ed è causa della nascita del mondo come separazione
dal miscuglio originario.”
(AA. VV. – I
Presocratici. Testimonianze e frammenti – ed. Laterza, pag. 606)
In realtà dai frammenti delle opere
di Anassagora pervenuti fino a noi non possiamo dire se questo miscuglio
originario si contrapponesse al Nous o emergesse come megapensiero del Nous,
però tutto ci fa pensare, dal momento che ha smaterializzato il mondo, che
all’interno del Nous ci sia questa dimensione di compresenza in senso
aspaziale dei semi, che poi il Nous ordina dando origine al
mondo.
Per questo dicevamo che il discorso
di Anassagora è un discorso evoluto, perché ci invita a stare attenti a non
credere che il mondo sia quello che noi vediamo, anticipando curiosamente la
conclusione per certi versi analoga a cui è giunta la fisica contemporanea. Un
limite del discorso di Anassagora, può essere individuato nella sua
affermazione che questi semi fossero qualitativamente diversi, in una
serie infinita di qualità diverse; in altre parole, i semi che
costituiscono le ossa non sono i semi che costituiscono la carne, che
non costituiscono il sangue, che non costituiscono le pietre, e, a questo
punto, è inevitabile concludere che ha cercato di risolvere i problemi che il
mondo ci prospetta smaterializzandolo, ma poi ha moltiplicato all’infinito i
problemi individuando un infinito numero di qualità diverse originarie dei semi,
desunte proprio da quella realtà materiale che egli aveva inteso negare e
superare.
Democrito
Per quanto riguarda Democrito, egli
ha scelto la strada apparentemente più facile, perché ha riconosciuto che il
mondo che noi vediamo esiste; non solo esiste, ma è, esattamente, quello che
noi vediamo; però ha dovuto pagare un prezzo, per poter dire questo: se il
mondo esiste ed è come lo vediamo per cui, di conseguenza, esiste una sua
radice ultima, ha dovuto sorvolare sul fatto che proprio la componente
fondamentale della realtà è contraddittoria sul piano logico. Questa radice
ultima che, in quanto tale, deve risultare non più ulteriormente divisibile, è
stata da Democrito definita atomo, proprio perché questo termine,
etimologicamente, significa “che non si può dividere”. In tal modo egli
ha ridato concretezza agli oggetti della esperienza quotidiana, perché
risultano costituiti di un numero incalcolabilmente alto ma comunque definito
di “mattoni”, ciascuno dei quali è l’elemento ultimo della realtà e, con una
felice intuizione, Democrito afferma che questi atomi sono tutti uguali
come sostanza, diversi, invece, come forma e da quest’ultima hanno origine le
diverse caratteristiche di tutte le cose che fanno parte della realtà
materiale.
Il concetto di atomo di
Democrito accompagnerà la scienza fino al XIX secolo, e rimarrà come un
postulato di partenza sul quale sarà necessario convenire: se vogliamo credere
che il mondo possa essere pesato, misurato, studiato, indagato, dobbiamo
accettare che esista sul serio e quindi che sia fatto di atomi, semmai
il limite della ricerca scientifica sarà proprio quello di credere, a livello
teorico, di poter arrivare concretamente a dominare quella “cosa” chiamata atomo.
Nel XIX secolo un chimico russo,
Mendeleev, definirà in un centinaio gli atomi costituenti il mondo, proponendo
la loro classificazione in una tavola che mette in evidenza il periodico
ripetersi delle loro proprietà chimiche, raggruppando quelli con comportamento
affine e, con il chimico russo, gli atomi verranno definiti irriducibili tra
loro, per cui gli atomi appaiono tra loro qualitativamente diversi e, in
questo senso, viene contraddetto il discorso di Democrito.
Nel secolo successivo la fisica
arriverà a demolire il principio della irriducibilità degli atomi
affermando che, in quanto materializzazioni di energia, si differenziano tra
loro per il fatto di essere strutture più o meno complesse dal punto di vista
energetico, per cui, anche se per ora resta una possibilità teorica, dal punto
di vista scientifico si accetta, come ipotesi di ricerca, il sogno degli
alchimisti di trasformare tra loro sostanze diverse, che per secoli è stata
definita come ridicola ingenuità.
A questo punto torna ad avere
ragione Democrito, quando diceva che tutti gli atomi sono fatti della stessa
sostanza, perché è esattamente quello che dicono i fisici oggi.
Questi ultimi, però, hanno
cominciato a fare nel XX secolo discorsi provocatori per il buon senso comune,
discorsi che richiamano più i paradossi di Zenone che non la solidità concreta
di Democrito: la fisica contemporanea ci ha demolito il mondo nella sua
dimensione di concretezza così come è percepita dai nostri sensi, per cui una
pietra che ai nostri sensi appare come compatta, pesante e inanimata è, nella
sua struttura più profonda, costituita di atomi che sono spazi “vuoti” per il
99% e che appaiono “pieni” perché sono campi di energia in equilibrio dinamico.
In realtà la fisica ha potuto fare
questo discorso perché già la matematica nella seconda metà dell’Ottocento
aveva demolito i principi sui quali si basava la logica dell’uomo comune: la
matematica aveva rimesso in discussione i principi della geometria classica,
affermando che non è vero che per un punto può passare una ed una sola retta
parallela ad un’altra data, perché ne passano infinite e ciò perché il piano
euclideo -all’”interno” del quale si dimostra che, dato un punto, esterno ad
una retta, per questo punto passa una ed una sola parallela alla retta data-
costituisce una inaccettabile riduzione e banalizzazione descrittiva della
realtà che è ben più complessa di quanto i nostri sensi ci registrano come
esistente.
Quando si giunge a questo livello di
intuizioni ci ritroviamo, di fatto, nel cuore del messaggio esoterico
che da sempre l’uomo ha posseduto e che da sempre sfugge ai più, visto che
richiede una capacità intuitiva non comune e, insieme, impone necessariamente
una coerenza di vita che non ha più bisogno di prescrizioni e punizioni sul
piano terreno o di minacce proiettate sul piano ultraterreno.
La geometria frattale
La geometria frattale, che è
relativamente recente, si inserisce come ulteriore provocazione nella critica
alla convinzione che il mondo sia tale e quale i nostri sensi ce lo
testimoniano e, in questo senso, possiamo dire che la teoria frattale sia
l’ultima espressione di quella singolare capacità di pensare al mondo in
termini alternativi, che vede in Pitagora, Zenone, Eraclito, Leibniz
espressioni geniali, che hanno operato nella nostra cultura una spinta a
pensare il mondo in termini meno ingenui.
Prima di proseguire ricordiamo una
barzelletta, che viene utilizzata per sottolineare come anche nella scienza ci
siano spazi di ricerca serissimi, che utilizzano la logica a livelli diversi.
Nella barzelletta abbiamo un
astronomo, abituato a lavorare sugli anni luce, un fisico, abituato a lavorare
sulle dimensioni del neutrino, e un matematico, che è abituato a ragionare
sulla logica pura.
Questi tre studiosi, in questo caso
extra-europei, stanno viaggiando su un treno in Scozia e a un certo punto si
vede in un prato una pecora nera; l’astronomo osserva: “Ma guarda, in Scozia
le pecore sono nere”; il fisico lo guarda con sufficienza e ribatte: “Diciamo,
meglio, che in Scozia ci sono delle pecore nere”; il matematico guarda con
estrema sopportazione i due e dice: “No, diciamo che in Scozia esiste almeno
una pecora la cui metà sinistra è nera”.
La geometria frattale ci chiederà di
utilizzare la matematica proprio su una dimensione di logica coerente e questa
ci riporterà a scoprire che il mondo è, come diceva Zenone, assolutamente
incomprensibile così come ce lo presentano i nostri sensi. A questo punto,
quale sarà la conclusione? Non la relatività totale, non la perdita definitiva
della verità, quanto piuttosto la riscoperta dell’infinitudine divina che si
palesa nel finito. Ciò che per secoli ci è stato descritto come realtà
conclusa e finita ci si rivelerà come l’infinito in atto, che solo la nostra
limitata capacità di percezione e la nostra arroganza intellettuale ci hanno
impedito di cogliere come la dimensione divina nella quale siamo immersi.
Abbiamo accennato al pensiero di
Zenone, di Anassagora e di Democrito e abbiamo detto che ci ponevano, già 2500
anni fa, di fronte a problemi che ancora oggi sono non risolti e che la
geometria e la matematica frattale ci aiutano a vedere con occhi nuovi.
Problemi che la teoria frattale
comincia ad indagare utilizzando tecniche nuove, prima inaccessibili: questi
problemi restano aperti per cui, dal punto di vista scientifico, correttamente
si continua a parlare di caos, che rimarrà sempre tale, perché non sarà mai
possibile esaurire l’infinita varietà dei fenomeni che appartengono alla
dimensione caotica, come, ad esempio, le volute del fumo di un incendio, il
fluire dell’acqua in un torrente di montagna, il dispiegarsi delle forme di una
nuvola sfilacciata dal vento,… ma il fatto che, alla base di alcuni fenomeni
che erano classificati come caotici, la teoria frattale abbia scoperto
l’esistenza di algoritmi matematici che li possono spiegare, permette al
filosofo di recuperare la concezione pitagorica e platonica del mondo come
manifestazione dell’ordine e della bellezza, in altre parole, di Dio.
Zenone ci proponeva in ultima
analisi il quesito, irrisolvibile nei termini in cui egli lo proponeva: o è
falso il mondo che percepiscono i nostri sensi, falso nel senso che esiste, ma
non è esattamente quello che i nostri sensi ci testimoniano, oppure il pensiero
che l’uomo usa per comprendere e descrivere il mondo non è lo strumento adatto
per disquisire su quello che noi percepiamo come mondo, e i suoi paradossi erano
lì a testimoniare questo problema.
Anassagora lo aveva risolto facendo
una scelta di campo: dal momento che non si può salvare capra e cavoli, aveva
smaterializzato il mondo; è chiaro che a questo punto valgono le leggi della
logica, del pensiero umano. Però, conseguentemente, bisognava accettare che la
nostra percezione del mondo è una approssimazione –usiamo terminologie moderne–
molto rozza di un tipo di energie, che solo su un piano spirituale possono essere intuite in modo
corretto.
Democrito, invece, aveva scelto la
strada opposta, definendo vero il mondo così come lo percepisco, dal momento
che, se mi cade una pietra in testa, ho delle sensazioni ben precise, che non
possono essere scambiate per vaneggiamenti,
ma aveva finito per chiederci di accettare che alla base della realtà del mondo
esista un mattone fondamentale della materia, concepito però in modo tale che,
dal punto di vista logico, è un vero e proprio assurdo.
Abbiamo anche detto che nel corso
del XIX secolo la matematica, che fino a quel momento era sviluppata
prevalentemente nell’ambito della soluzione di problemi concreti, aveva finito
per uscire dalla dimensione dell’esperienza propria dell’uomo comune
qualificandosi, piuttosto, come sistemazione di tipo ipotetico-deduttivo verso livelli
di sempre maggiore astrazione.
Leibniz, come filosofo e,
contemporaneamente, anche grande matematico, aveva proposto addirittura
infiniti universi, tutti ugualmente veri, e quello che ciascuno di noi
sperimenta ci appare, a posteriori, caratterizzato da una linea di sviluppo
coerente, come un continuum, mentre, in realtà, è il risultato di una
serie infinita di scelte, che si dipanano attimo dopo attimo all’interno
dell’infinito eterno presente divino, come –per fare un esempio oggi più
comprensibile grazie agli sviluppi della tecnologia multimediale– la lettura di
un ipertesto, che ciascuno di noi si può costruire liberamente.
La fisica nel corso del XX secolo è
giunta a mettere in discussione la realtà dello spazio–tempo che da Newton in
poi, salvo poche eccezioni, erano sempre stati considerati come realtà
oggettive, ed è proprio sulla base di questa rimessa in discussione che la
fisica, scienza del mondo concreto per eccellenza, aveva finito per costituire
nel nostro secolo un elemento destabilizzante di quelle realtà, di quelle
certezze, di quelle verità su cui per secoli avevamo contato con sicurezza. La
teoria frattale si inserisce in questo processo di demolizione della realtà del
mondo percepita attraverso i nostri sensi e recupera i paradossi di Zenone come
espressione di una problematica più che mai attuale, che molti,
superficialmente, pensavano ormai relegata come momento curioso nella storia
del pensiero umano. Oltre a ciò la geometria frattale riapre le porte a quelle
soluzioni, a quelle intuizioni che già erano state proposte da Pitagora, per
cui oggi il matematico, grazie alla geometria frattale, si ritrova più vicino
alla dimensione del credente, di
un credente testimone di una fede filosoficamente evoluta che si è spogliata
delle ingenuità antropomorfe tipiche della fede dell’uomo comune.
E qui recuperiamo ancora una volta
la dimensione provocatoria della affermazione di s. Agostino, richiamata al
punto 0.2 (Religione e macrobiotica), per cui la difficoltà maggiore ad
accettare questo punto di vista consiste nel fatto che, se vera, rimette in
discussione tutte le certezze religiose che da secoli sono state imposte
nell’area cristiana.
Fermiamoci ora un attimo per fare
alcune precisazioni al discorso sui frattali degli studiosi Lorenz e Mandelbrot:
precisazioni, perché Lorenz e Mandelbrot, che sono scienziati, si muovono nell’ambito proprio della
scienza, mentre qui vogliamo utilizzare il loro discorso in un ambito diverso,
quello filosofico.
Le citazioni riportate più avanti e
su cui faremo alcune riflessioni sono tratte da una videocassetta: “I
Frattali” presentati da E. Lorenz e B. B. Mandelbrot; un film di H. O.
Peitgen, H. Jurgens, D. Saupe, C. Zahlten – Università di Brema – Spektrum
Videothek. Edizione italiana a cura della redazione di “Le Scienze” –
1991 – Traduzione di G. O. Longo, coordinamento M. Fossati.
Questa videocassetta non è più in
commercio, ma è stata a suo tempo acquistata da molti istituti scolastici ed è
recuperabile presso le loro biblioteche. Per chi non avesse la possibilità di
trovarla ci sono ormai in commercio molte pubblicazioni, per cui chi fosse
interessato a questo discorso non avrà difficoltà a trovare materiale adeguato
per approfondirlo su testi e pubblicazioni più recenti rispetto alla
videocassetta citata.
Mandelbrot, che è stato colui che
nel 1977 ha proposto il termine di frattale e che, nel filmato sopra
citato è il primo dei relatori, ha affermato che in natura esistono forme
regolari e irregolari: quelle regolari sono una minoranza, di solito, e cita la
figura circolare della luna, la sfera del sole, l’ellisse dei pianeti, a cui
egli contrappone esempi come le nubi, le volute del fumo, le lingue di fuoco,
che sono assolutamente irregolari e, perciò, definite come fenomeni caotici.
Prima precisazione: forme regolari,
nel senso di forme geometriche perfette, così come la geometria classica ce le
descrive, in natura non esistono, non ne sono mai esistite; la Luna ci richiama
la forma di un cerchio, nel senso che tale ci appare ad occhio nudo, in realtà
non può essere un cerchio perfetto perchè non è una sfera perfetta, come non lo
è la Terra, che ha uno schiacciamento ai poli dovuto al suo moto di rotazione e
al fatto che l’interno della Terra è plastico, per cui la forza centrifuga dà
origine a questa deformazione; oltre al fatto che, come nel caso della Luna, la
sua superficie è tanto meno regolare quanto più dettagliata è l’osservazione.
Non parliamo della superficie del Sole, che ha protuberanze e crateri in
continua evoluzione determinati da gigantesche esplosioni all’interno della sua
massa che danno origine a deformazioni visibili e misurabili in centinaia di
migliaia di chilometri; per non parlare poi del fatto che noi potremmo prendere
i miliardi di alberi che esistono sulla Terra, tagliare “a fette” centimetro
per centimetro i loro tronchi e mai troveremo un cerchio perfetto.
In natura ci sono infinite forme che
richiamano quelle perfette, trattate dalla geometria: è per questo che Platone ha affermato che il cerchio, il
triangolo equilatero, i poligoni regolari,… come forme perfette sono archetipi,
sono cioè le idee che hanno ispirato il divino demiurgo che ha plasmato il
mondo nel quale gli oggetti, in qualche modo, rimandano alla perfezione del
modello archetipale. Questo discorso, che in Platone voleva essere un invito ad
un livello di intuizione più alto, diventa in Galilei una affermazione netta,
con la ingenuità di fondo di una concezione antropomorfa di Dio, il quale
ragiona in termini matematici e la grandezza dell’uomo sta proprio nell’essere
capace, seppure in termini quantitativamente finiti, di cogliere la dimensione
matematica e, perciò, perfetta della mente di Dio.
In realtà nel mondo forme perfette
non esistono, proprio perché, essendo la nostra dimensione soggetta al divenire
ed essendo infinita la potenza degli archetipi, risulta infinitamente
variegata la espressione, sul nostro piano, della loro potentia generandi.
Ciascuna di queste espressioni finite tende, senza equivoci, ad esprimere la
perfezione dell’archetipo.
D’altra parte, quella dimensione
caotica che Mandelbrot opponeva alle forme che egli definiva “giuste”, in
realtà anch’essa rivela, se studiata con la dimensione frattale, la bellezza,
l’armonia, il rigore matematico delle forme perfette: a questo punto, come
filosofi, concluderemo con la constatazione che, allora, il mondo è tutto
intero, sia in quelle che gli scienziati chiamano forme caotiche sia in quelle
che chiamano forme regolari, è tutto intero espressione di una tensione verso
il rigore matematico e la bellezza, ma questo è, esattamente, il discorso di
Platone e di Pitagora.
Ancora, Mandelbrot cita le ellissi
dei pianeti come forme regolari; abbiamo già detto che non esistono nello
spazio-tempo forme perfette, neanche nelle ellissi dei pianeti, basta fare
considerazioni ovvie, come quella per cui il pianeta Terra, nel momento in cui
percorre un’orbita intorno al Sole, è trascinato dal movimento del Sole
all’interno di un movimento della galassia in cui siamo compresi, quindi il
pianeta Terra non muove intorno a un punto fisso, che è il Sole, lo è per noi
un punto fisso, in realtà il Sole a sua volta si muove e trascina con sé tutta
la coorte dei pianeti e quindi, quelle che definiamo le loro ellissi, sono una
pura astrazione. Ricordato questo, risulta ovvio il fatto che la Terra,
trascinata da questo movimento, che è della galassia e quindi anche del Sole,
attraversa zone dello spazio cosmico più o meno ricche di meteoriti, per cui in
certi anni la Terra riceve più meteoriti e in certi altri meno, per cui la sua
massa viene a subire delle variazioni: saranno infinitesimali queste
variazioni, rispetto alla massa della Terra, ma proprio Lorenz è il primo a
dirci che quando si introduce una variabile apparentemente insignificante,
verrà, prima o poi, il momento in cui quella variazione, che sembrava
insignificante, viene ad avere il peso del segnale iniziale, in altre parole ha
stravolto completamente le previsioni, modificando radicalmente la dimensione
iniziale del fenomeno.
Per lo stesso principio, la Terra,
nel momento in cui viene ad essere colpita da più meteoriti rispetto all’anno
precedente, modifica la propria orbita intorno al Sole in modo apparentemente
insignificante, perché la Terra che acquista più massa con una maggiore
quantità di meteoriti, allunga la sua orbita, però poi aumenterà la velocità di
avvicinamento del Sole, per cui apparentemente non cambia niente, ma a tempi
lunghi sì: potrebbe essere proprio l’accumularsi di queste pur minime variabili
una possibile spiegazione del fatto per cui il nostro pianeta che, oltre a
ruotare su se stesso e percorrere l’orbita intorno al Sole, oscilla anche sul
proprio asse, ha già cambiato nel passato il proprio asse di rotazione.
Tutto questo per dire che
nell’universo non c’è nulla che sia matematicamente sempre perfetto ed esatto
come le forme contemplate dalla geometria classica e l’esempio portato da
Lorenz del battito di ali della farfalla, che può essere all’origine di un
uragano che in un altro continente distrugge una zona piuttosto che un'altra, è
una considerazione apparentemente paradossale suggerita dalla teoria frattale
che ha sconvolto quelli che erano i normali parametri delle previsioni
meteorologiche: l’uomo ha solo bisogno di mettere a fuoco sempre meglio le
variabili in gioco oggi, per vedere poi le previsioni del tempo sempre più
sicure allungarsi nel tempo, si diceva. Lorenz afferma che ciò non sarà mai
possibile perché non si potrà mai calcolare variabili come il battito d’ali
delle farfalle di un’area di centinaia di chilometri quadrati, dal momento che
anche quelle, a tempi lunghi, diventano una misura determinante e significativa
perché si realizzi o meno un certo tipo di fenomeno, che si pretende
inizialmente di prevedere.
Per questo la geometria frattale
sembra di nuovo essere un elemento che nel XX secolo azzera le certezze:
certamente, azzera le certezze di tipo tradizionale, la certezza e la pretesa
di “prendere le misure di Dio”, di poter pensare di avere in pugno il senso del
mondo. Non potremo mai avere in pugno il senso del mondo, perché stiamo
parlando dell’infinito, stiamo parlando di Dio.
Aveva ragione Zenone, quando ci
spostava dal finito all’infinito e ci faceva osservare che a questo punto i
conti non tornano più. Quando lo scienziato misura i fenomeni concreti e non
pretende di arrivare alla previsione assoluta, ma solo di arrivare a quella
approssimazione che può esserci utile, allora ha perfettamente ragione e la
scienza è legittimata come ricerca ma, quando la scienza pretende di arrivare a
scoprire il senso ultimo del mondo, la misura ultima degli eventi, il mattone
fondamentale non ulteriormente scomponibile che sta alla base della materia, è
una scienza che insegue l’ingenuo tentativo di quantificare l’infinito. La
geometria frattale non solo ha ribadito questa impossibilità, ma ha riaperto il
discorso pitagorico, nel senso che ci ha fatto intravedere come in quella
dimensione cosiddetta caotica, che oggi la scienza definisce assolutamente non
misurabile e tale da far pensare che il mondo è nato dal caso, proprio quel
mondo caotico, studiato con i computers moderni, che possono spingere il
livello di calcolo dove la capacità umana non sarebbe mai potuta arrivare, sta
rivelando la possibilità di quella dimensione di rigore matematico che Pitagora
e Platone avevano posto come radice ultima del mondo.
Riportiamo di seguito alcuni stralci
dei discorsi fatti da Lorenz e Mandelbrot nel filmato sopra citato.
“Sospettai (é Lorenz che parla) che ci fosse
un guasto nella macchina (Lorenz si riferisce ad un esperimento da lui
compiuto riguardante le previsioni meteorologiche), ma poi mi accorsi che i
dati che avevo introdotto erano leggermente diversi da quelli originali, erano
numeri arrotondati e la piccola
differenza tra i numeri a sei cifre decimali e gli stessi numeri arrotondati a
tre cifre decimali, si era amplificata nei due mesi di simulazione atmosferica
al punto che la differenza ora era diventata grande quanto il segnale stesso e
questo voleva dire che se l’atmosfera reale si comporta così, allora non è
possibile fare previsioni a due mesi perché questi piccoli errori di
osservazione si amplificano e diventano grandissimi.”
“Perché questo risultato ha scosso
la visione tradizionale del mondo? Supponiamo, per semplicità, di conoscere con
precisione le leggi naturali che regolano il comportamento di un sistema
fisico, per esempio di un pendolo. Queste leggi si possono esprimere con
formule matematiche, conoscendo con precisione lo stato di un sistema in un
istante iniziale, possiamo prevederne lo sviluppo in qualsiasi istante futuro,
in sostanza ciò doveva valere anche per il modello di previsione meteorologico
studiato da Lorenz, cioè se conosciamo approssimativamente la temperatura,
l’umidità, la pressione barometrica e così via in un istante iniziale, dovremmo
essere in grado di calcolarne approssimativamente lo sviluppo futuro. Gli
scienziati pensavano che la regola fosse più o meno questa, bene, l’esperimento
di Lorenz mette in discussione proprio questa convinzione. Riportiamo indietro
il sistema allo stato iniziale, se modifichiamo anche di pochissimo i valori
iniziali, arrotondandoli come fece Lorenz, oppure perché una farfalla ha
battuto le ali, lo sviluppo del modello è talmente diverso che ogni previsione
perde significato. Gli scienziati sono rimasti sconcertati scoprendo che il
caos non è un’eccezione, bensì una manifestazione normale della natura, in
passato ciò era sfuggito, perché mancava un linguaggio adeguato. Di fronte a un
fenomeno che si manifestava perfino nei sistemi più semplici la scienza restava
muta.”
Nel filmato viene evidenziato un
esperimento che mette in luce i rapporti tra caos e frattali.
“ Questa pallina di ferro sospesa a
un filo (é sempre
Lorenz che parla) è soggetta alla forza di gravità e all’azione di tre
magneti. Se portiamo il pendolo in una qualsiasi posizione iniziale e lo
lasciamo andare, prima o poi esso si fermerà su uno dei magneti; ma su quale?
Ciò dipende solo dalla sua
posizione iniziale, ciascun magnete attrae la pallina se viene lasciata
libera nelle sue immediate vicinanze, ma l’attrae anche se viene liberata più
lontano; la situazione è complessa
e difficilissima da capire per via sperimentale; una simulazione al calcolatore
può esserci d’aiuto. Coloriamo il punto da cui la pallina parte con il colore
del magnete su cui si fermerà, per ottenere un’idea d’insieme coloriamo una
serie di punti distribuiti in maniera uniforme su tutto il piano, i quadrati
colorati rappresentano solo i loro centri. Possiamo anche raffinare la
struttura usando una griglia più fitta di punti campione, o una griglia ancora
più fitta, o una griglia più fitta ancora; i colori si mescolano e si forma
così una struttura molto complessa (nel filmato si può osservare con
chiarezza che, quando l’approssimazione del calcolo è rozza appaiono solo
macchie di colore, quando invece il calcolatore spinge l’esame sulle stesse
zone in scala molto più spinta le macchie iniziali nettamente distinte appaiono
ora in un contesto in cui le sfumature sempre diverse nelle zone di confine
conferiscono all’insieme una connotazione esteticamente interessante); come
si può interpretare questa immagine? Per certe zone è molto chiaro, tutte le
palline che partono da una regione blu, si fermano sul magnete blu, se parte da
qui, la pallina si ferma sul magnete rosso, se parte da questa posizione,
spostata solo di poco finisce sul magnete giallo, e se parte da una posizione
intermedia su quello blu. Sembra che i magneti si contendano le palline fin dentro i minimi anfratti;
prevedere il comportamento delle palline in questa regione è un’impresa quasi
disperata: qui regna sovrano il caos.”
Alcune riflessioni. Viene detto che
nelle zone di confine regna sovrano il caos e poco prima era stato detto che il
caos non è un’eccezione, ma è la regola del mondo; se si arriva a questa
constatazione e si tiene presente che la caratteristica peculiare della
dimensione scientifica consiste nel ribadire che se non si è giunti alla
verifica concreta non si può dire che quel particolare fenomeno è l’effetto di
una legge naturale, ne consegue che sul piano dei fenomeni da essa definiti
caotici, le condizioni sperimentali, basilari per la scienza, sono impossibili.
Proprio qui, dove la scienza
contemporanea ha toccato con mano che la realtà, che per tanti secoli è stata
ritenuta finita e, perciò, misurabile, è invece incommensurabile, si può
inserire il discorso del filosofo il quale, pur grato alla matematica per il
fatto che essa costituisce la base indispensabile che ha consentito lo sviluppo
della moderna tecnologia, che ha per molti versi semplificato i problemi
concreti della vita, non può e non vuole fermarsi alla constatazione della
impossibilità di portare a termine il progetto scientifico di prendere le
misure della realtà. Anche il filosofo vuole scoprire il senso del mondo, ma,
nel momento in cui la dimensione materiale della realtà si rivela non adeguata
alle aspettative della scienza, recupera proprio l’elemento di crisi
scientifica come sorgente di considerazioni che, dal punto di vista logico,
hanno una loro coerenza.
Ripartiamo da capo sintetizzando:
1.
Non
è vero che nella realtà ci siano fenomeni che riproducano le forme perfette
previste dalla –usiamo il termine pitagorico– aritmogeometria.
2.
Lorenz,
afferma che “gli scienziati sono rimasti sconcertati scoprendo che il caos
non è un’eccezione, bensì una manifestazione normale della natura; in passato
ciò era sfuggito, perché mancava un linguaggio adeguato”.
3.
I
tentativi di studiare e quantificare i fenomeni della natura usando carta e
matita, intendendo con ciò gli strumenti di cui l’uomo può disporre utilizzando
le sue normali capacità, danno origine, sul piano della risoluzione dei
problemi concreti della vita, a soluzioni accettabili, in quanto
l’approssimazione di cui ci si accontenta consente di superare le difficoltà
che si intendevano risolvere.
4.
I
tentativi di cui al punto 3., se spinti oltre una certa soglia, portano
alla constatazione che ci troviamo di fronte ad una realtà caotica, cioè
incomprensibile e imprevedibile.
5.
L’utilizzo
dei nuovi strumenti di calcolo, che spingono le possibilità di analisi su un
piano di precisione e di velocità assolutamente irrealizzabili dall’uomo (vedi
il punto 3.), porta a scoprire che quegli stessi fenomeni, che
all’occhio umano appaiono come macchie di colore senza senso, nella grafica
resa possibile dal computer, possono manifestarsi come forme esteticamente
affascinanti e, insieme, inquietanti, dal momento che, per quanto si
modifichino i dati di partenza, il prodotto finale pur assumendo forme diverse
raggiunge sempre un risultato complessivo esteticamente affascinante. Tutto ciò
porta il filosofo ad ipotizzare che il caos constatato dalla scienza è in
realtà il Caos, con la “c” maiuscola: è quel Dio che la scienza non ha più
voluto prendere in considerazione, perché banalizzato e antropomorfizzato dalle
religioni storiche, ma che la scienza stessa sta riscoprendo come limite
irraggiungibile e che i più grandi filosofi hanno proposto come Infinito e se,
in quanto tale, mistero per l’uomo, pur sempre intuibile, al limite, come senso
del mondo: senso del mondo che i mistici di tutte le religioni hanno sempre
sentito e vissuto come esperienza di vita interiore, che nessuna teologia potrà
mai analizzare.
6.
La
matematica e la geometria frattale ci ripropongono il piano della metalogica di
Eraclito e Pitagora e ci fanno intuire il motivo per cui la scienza occidentale
stia riscoprendo provocazioni filosofiche tipiche della cultura taoista, che l’esoterismo
ha sempre conservato.
Torniamo al commento delle
affermazioni sopra riportate in corsivo, tratte dal filmato sui frattali.
L’analisi, che i computers
consentono su quella dimensione di fenomeni che gli scienziati chiamano
caotica, rivela in realtà proprio quella metalogica che abbiamo visto in
Eraclito e Pitagora, che sconvolge la nostra abitudine alle distinzioni definitive,
per cui questo è bianco quello è nero, questo è giusto quello è falso, questo è
buono quello è cattivo, ... perché se arriviamo nella zona di confine tra il
bianco e il nero, tra il vero e il falso, tra il buono e il cattivo scopriamo
che proprio dove sembrerebbe non esserci più nessuna possibilità di scelta per
l’una o per l’altra, lì si aprono di nuovo entrambe le scelte: di nuovo quella
linea, che sembrava una linea sola, si rivela non solo doppia, ma rivela una
dimensione di potenza infinita.
A questo proposito, il filmato
partiva con l’esempio della misurazione delle coste della Gran Bretagna e
faceva osservare che quanto più l’unità di misura utilizzata diventa precisa,
cioè più piccola, che ci consente di andare a misurare cose che prima erano
sfuggite, tanto più lunga risulta la costa, con la prospettiva di giungere a
una lunghezza di costa infinita utilizzando una unità di misura infinitamente
piccola.
In realtà, per le nostre esigenze,
non andiamo a pretendere dal cartografo che vada a misurarci il terreno con il
centimetro, ma se la ricerca si spingesse oltre una certa soglia, arriveremmo
di nuovo ai paradossi di Zenone.
Possiamo citare due esempi: uno è
l’isola di Koch e l’altro la spugna di Sierpinski.
Per rendere meglio l’idea, citiamo
testualmente testo e disegni tratti dall’opera di K. Devlin, Dove va la matematica, (Bollati Boringhieri, Torino, 1994
(1998), pp. 91-94):
[…] Un’entità matematica analoga
alla linea costiera non misurabile di Mandelbrot è offerta da una figura
geometrica studiata per la prima volta da Helge von Koch nel 1904, che noi
chiameremo isola di Koch. La figura 4.2a mostra l’isola di Koch vista da un razzo nello
spazio interplanetario; da questa distanza ha esattamente l’aspetto di un
triangolo equilatero. Man mano che il razzo si avvicina alla Terra, appare
chiaro che ciascuno dei tre lati in realtà contiene un promontorio a forma di
triangolo equilatero, che occupa la parte centrale del lato per un terzo della
sua lunghezza (fig. 4.2b); se la lunghezza del perimetro nella figura 4.2a
è di 3 unità, quella nella figura 4.2b sarà 3x4/3 unità.
Avvicinandoci ancora di più, ci accorgeremo che, allo
stesso modo, ciascuno dei dodici lati che vedevamo prima contiene un
promontorio a forma di un triangolo equilatero che ne occupa la terza parte
centrale (fig. 4.2c); la lunghezza del perimetro adesso è 3x4/3x4/3
unità. La figura 4.3 mostra l’isola da una distanza molto ravvicinata,
con una rilevazione di dettagli sempre più particolareggiati e offre qualche
indicazione sulla reale forma dell’isola di Koch.
Per il matematico, l’aspetto più
interessante della questione è la regolarità con cui appaiono i dettagli ai
livelli successivi: a ogni stadio la parte centrale di ogni segmento della costa
è rimpiazzata da due segmenti, ciascuno della medesima lunghezza della parte
sostituita, come si vede nella figura 4.4.
Come si può dedurre osservando le
figure 4.2 e 4.3,
l’isola di Koch, dal punto di vista matematico, ha una forma ben definita, di cui
la figura 4.3 offre una buona approssimazione per quanto l’occhio umano
riesca a distinguere. La linea costiera dell’isola di Koch, se la si vuole
definire da un punto di vista matematico, è la “curva” che corrisponde al
limite della successione infinita di approssimazioni, le prime tre delle quali
sono mostrate nella figura 4.2. A questo punto la matematica si
sostituisce alla cartografia: matematicamente parlando, questa curva limite è
definita in modo preciso e, come qualunque altra curva, consiste in un numero
infinito di punti allineati in modo da formare una linea continua. Il processo
per arrivare alla curva limite è analogo a quello per arrivare al numero 1/3
come limite della successione infinita di decimali
0,3 0,33 0,333 0,3333 0,33333 … .
Poiché l’isola di Koch è una
porzione definita del piano, essa avrà un’area definita. Il valore numerico
della sua superficie dipenderà naturalmente dalle unità di misura che verranno
impiegate, ma sarà senz’altro finito. Esso può essere calcolato come il limite
di una successione di numeri, in maniera molto simile all’esempio del numero
1/3, ed è in realtà esattamente 1,6 volte l’area del triangolo della figura 4.2a. Ma qual è la lunghezza
della linea costiera che delimita questa superficie finita? Ebbene, ciascuno
stadio successivo del processo aumenta la lunghezza della linea costiera di
4/3, e quindi quando si raggiungerà la curva di Koch (nome dato alla curva
perimetrale) questo aumento di 4/3 si sarà verificato un numero infinito di
volte: dunque la lunghezza della curva di Koch è infinita.
Come può una superficie finita avere
un perimetro infinito? Le stesse figure 4.2 e 4.3 forniscono la risposta. Ad ogni
approssimazione successiva, la curva perimetrale si deforma da un lato
all’altro per l’intera lunghezza. Queste deformazioni possono essere disegnate
in dettaglio, purché si usi una scala adatta, ma quando si arriva alla curva di
Koch la deformazione è avvenuta infinite volte. Si verifica allora qualcosa di
molto strano: interviene una nuova dimensione. […]
Questa nuova dimensione non ci
riporta “soltanto” ai paradossi di Zenone, ma ci permette di svilupparli
ulteriormente tanto da intuire, all’interno della medesima dimensione
paradossale, potenzialità nuove, che il filosofo greco non poteva ancora
scorgere ed è, nel filmato sui frattali, il discorso relativo agli attrattori,
che nascondono nella loro profondità infinitesimale il salto dimensionale dalla
linea pura e semplice alla superficie e, da questa, al solido. Ciò che i
matematici colgono come “salto”, perché costituisce una provocazione alla
logica delle distinzioni nette a cui non vogliamo rinunciare è, dal punto di
vista filosofico, la “logica” conseguenza del fatto che l’Essere è uno e,
quindi, quelle dimensioni che noi distinguiamo come, ad esempio, la superficie
bidimensionale e il volume tridimensionale, sono in realtà perfettamente
coincidenti nel continuum dell’Essere: era l’intuizione spinoziana per
cui Dio è la Sostanza, che si esprime in infiniti attributi: l’uomo, sempre
secondo Spinoza, ne coglie solo due, come pensiero e realtà materiale. Quando
Cartesio cercherà di individuare in quale punto del corpo umano poteva essere
radicata la realtà immateriale dell’anima, dimostrerà di utilizzare la rozza
certezza delle distinzioni definitive, propria della logica occidentale, mentre
ora stiamo assistendo al riemergere lento, ma ineludibile, della metalogica
dell’unicità dell’Essere, all’“interno” del quale, come infinito, le distinzioni
a cui non vogliamo rinunciare ci fanno sbattere il naso contro i paradossi di
Zenone.
Come può una misura perimetrale
infinita racchiudere una superficie finita? Torniamo al problema della
quadratura del cerchio, perché per calcolare la circonferenza noi utilizziamo
un sistema di misurazione che presuppone che la circonferenza sia un poligono
di infiniti lati e il nostro calcolo si basa su questa dimensione di
approssimazione, per cui il cerchio ha un’area finita, racchiusa da una
circonferenza che noi finitizziamo, ma con una approssimazione, mentre in
realtà la circonferenza, con i suoi infiniti punti che la costituiscono,
nasconde–rivela il segreto di Dio.
A questo punto proseguiamo ancora
nelle provocazioni fino a giungere all’esempio della spugna di Sierpinski, (K. Devlin, Dove va la matematica,
(Bollati Boringhieri,
Torino, 1994 (1998), pp. 94 – 98):
(Pagg. 94 – 95) […] Per quanto
attiene all’esperienza umana, l’universo in cui viviamo ha solo tre dimensioni,
anche se la teoria della relatività considera il tempo come una “quarta
dimensione”, e alcune moderne teorie fisiche arrivano ad attribuire undici
dimensioni all’universo (le tre che percepiamo fisicamente più altre otto che
si manifestano come le forze basilari della natura: gravità, magnetismo e così
via). Ma per il matematico la tridimensionalità non occupa un posto
privilegiato. E’ possibile prendere in considerazione spazi di quattro o più
dimensioni, cosa che avviene abitualmente. Sebbene non possano essere
rappresentati dalla geometria tradizionale, questi spazi multidimensionali
possono essere di reale uso pratico (si noti, comunque, che tutte queste
dimensioni sono ancora numeri interi)...[…]
Che cosa c’entra la linea costiera
di Koch con tutto ciò? Essendo una curva, la si potrebbe pensare
unidimensionale; ma questo non è vero: per quanto ciascuna delle
approssimazioni alla curva di Koch che si ottengono con il processo sopra
descritto sia unidimensionale, la curva limite non lo è. Quando la direzione di
percorrenza cambia un numero infinito di volte, non ci troviamo più in un mondo
a noi familiare; in realtà, nemmeno l’uso della parola “direzione” è qui del
tutto giustificato. Quindi non possiamo sperare di attribuire una dimensione
alla curva di Koch parlando di direzione del movimento, ma dobbiamo trovare un
modo nuovo di giungere al concetto di dimensione che non dipenda dalla
direzione.
E’ opportuno utilizzare un metodo
che si adatti alla natura della curva di Koch. La sua caratteristica basilare è
l’autosomiglianza: le parti, in scala ridotta, sono simili al tutto. […]
(Pag. 97) […] Non solo le curve
possono avere dimensioni frazionarie; si possono costruire anche “superfici” e
“solidi” altrettanto originali adottando procedure di autoriproduzione. Per
esempio, partendo da un cubo e rimuovendo successivamente le parti centrali si
arriva alla fine, cioè dopo un numero infinito di ripetizioni, a un oggetto
noto come la spugna di Sierpinski (D=2,7268), la cui struttura appare
nella figura 4.7. Questo
oggetto incredibile ha un volume zero racchiuso da una superficie infinita.
Ciascuna faccia esterna è nota come tappeto di Sierpinski e ha una
superficie zero delimitata da un perimetro infinito. La dimensione del tappeto
di Sierpinski è D=1,2618, la stessa della curva di Koch. […]
Qui la provocazione diventa ancora
più dura, perché prima avevamo un perimetro infinito che racchiude un’area
finita, qui, adesso, abbiamo una superficie infinita che racchiude un volume
zero, abbiamo due “infiniti opposti” che diventano compresenti, coincidenti: è
il discorso di Cusano, quando parla di Dio come coincidentia oppositorum,
per cui in Dio, l’infinitamente grande e l’infinitamente piccolo, coincidono e
non è più possibile dire questo è piccolo e questo è grande, perché, nella
dimensione dell’infinito, il grande e il piccolo scompaiono come termini
significativi, dal momento che scompare qualunque punto di riferimento.
La teoria frattale, come area della
matematica “figlia” dell’era del computer, riporta alle provocazioni di Cusano
e alle provocazioni di Zenone. Questa riscoperta dei matematici moderni, si
inserisce in quella caduta di certezze a cui il secolo XX ormai ci ha abituati
con la fisica, per cui tutto nel mondo è caos, tutto nel mondo è dimensione
che, a livelli infinitesimali, diventa qualcosa che sfuggirà per sempre alla
pretesa dell’uomo di poterla dominare e diventa quindi un ulteriore elemento di
negatività, in una situazione che porta l’essere umano, in balia di tecnologie
che sfuggono di mano, a causa anche di interessi economici che sono ormai più
potenti delle strutture statali, a sentirsi più frustrato che mai e
tendenzialmente portato a cedere al pessimismo di chi è giunto ad elaborare la
dottrina del “pensiero debole”: la materia si sta dimostrando sfuggente e
incontrollabile, il pensiero dell’uomo si rivela impotente e velleitario e ben
si comprende la battuta di Woody Allen, che sintetizza il vuoto che si è aperto
sotto i nostri piedi: “Dio è morto, Marx è morto e neanche io mi sento molto
bene”.
Non c’è, però, soltanto la filosofia
del “pensiero debole”. Per chi crede o vuole credere che il mondo ha un senso,
la teoria frattale, e la conseguente riscoperta delle problematiche evidenziate
oltre venticinque secoli fa da Zenone e Pitagora e accuratamente custodite
dall’esoterismo, costituisce invece un’ulteriore conferma che la
soluzione si trova su un piano nel quale si trovano sublimate le istanze più
profonde della filosofia, della religione e della scienza.
Coloro che hanno questo tipo di
posizione fanno una proposta esattamente opposta, osservando che la teoria
frattale permette di pensare a noi stessi in termini diversi: a chi pretende di
affermare che ciascuno di noi, come corpo fisico, è una struttura finita
perché, ad esempio, in questo momento siamo in un preciso punto della Terra e
occupiamo un certo volume nello spazio, la teoria frattale permette di opporre
la domanda: quali sono i “contorni” che racchiudono quello che chiamiamo “il
nostro io”? Non stiamo parlando soltanto di epidermide o di campo biomagnetico, stiamo parlando anche del fatto che
ciascuno di noi ha una certa età e questi anni trascorsi ci qualificano come
storia passata ma, contemporaneamente, contengono potenzialmente quello che
chiamiamo il nostro futuro. In altre parole, ciò che ci costituisce come essenza
non è soltanto la nostra struttura fisica, ma è anche il nostro passato, il
nostro divenire e, sotto questo punto di vista, quand’è che il nostro io ha
cominciato a esserci? Nel momento in cui, come neonati, siamo stati partoriti e
abbiamo visto la luce, nel momento in cui è avvenuta la fecondazione
dell’ovulo, nel momento in cui sono comparsi quelli che sarebbero poi stati
l’ovulo fecondato e lo spermatozoo fecondante o nel momento in cui sono nati
quegli esseri umani capaci di produrre l’ovulo e lo spermatozoo, dalla cui
unione si è determinato il mio corredo genetico e cromosomico, …?
Dove possiamo veramente individuare
il nostro inizio? Quella che noi continuiamo a pensare come realtà finita ha le
radici nell’infinito: ciascuno di noi sottolinea la propria individualità e si
considera diverso da Andrea, Giacomo, Giulio; magari ringrazia Dio tutte le
mattine per il fatto di non essere nato femmina; gli altri, anzi, sono dei
cretini, io sì che ho capito tutto, loro sono dalla parte del torto, loro sono
neri e io sono bianco… .
Quando coltiviamo questi pensieri ci
autofinitizziamo, perché ci contrapponiamo a qualcun altro, ignorando che in
realtà siamo l’espressione di una dimensione infinita: le nostre radici si
perdono e si dilatano smisuratamente nel passato, così come tutte le nostre
scelte mettono in moto forze che si proiettano nell’ipertesto degli infiniti
universi possibili. Altro che battito d’ali di una farfalla. In quanto
espressione e portatori dell’infinito siamo autentiche scintille di Dio, così come,
su piani diversi, lo esprimono il fiore, il granello di sabbia,… fino alle
galassie.
La teoria frattale ci ha visivamente
dimostrato che, nel momento in cui si spinge l’analisi oltre una certa soglia,
molto al di sopra delle capacità percettive dei nostri sensi, che possono
“vedere” solo delle caotiche macchie, si scoprono arabeschi esteticamente
affascinanti e, con ciò, si hanno risultati che confermano le dottrine di
Pitagora e Platone, vale a dire che il mondo, se lo sai vedere con gli occhi
giusti, è rigore, giustizia assoluta, ma è anche armonia e bellezza: tutto
questo porta alla dimensione religiosa, intesa come la capacità di saper
guardare a noi stessi e al mondo con la certezza che tutto ciò che ci succede
ha un senso.
E’ questo, secondo noi, il primo
possibile messaggio della teoria frattale che può essere utilizzato
filosoficamente, ma ce n’è un secondo, suggerito da Lorenz, quando parla degli
attrattori: “il punto sembra muoversi lungo queste spirali che giacciono su
un piano, ma arriva a un certo punto in cui si stacca e dal piano si entra
nella terza dimensione”; in altre parole, quando il contorno dell’isola di
Koch raggiunge la dimensione dell’infinito si esce dal piano e si entra in una
dimensione diversa. Quindi, ed è il nuovo paradosso, non è affatto vero che la
dimensione infinita del perimetro racchiude una dimensione finita di
superficie, perché oltre una certa soglia non è più un piano, ma diventa un
solido e diventano infinite le superfici che si sovrappongono determinando,
ancora, un nuovo processo infinito di riproduzione, che i matematici hanno
definito di “autosomiglianza”; quell’autosomiglianza in base alla quale
se noi prendiamo un cavolfiore e ne stacchiamo un germoglio qualsiasi, avremo
sempre una struttura di base che lo fa definire come un cavolfiore, senza mai
ripetersi in modo perfettamente uguale. E, questo, per tutti i cavolfiori del
mondo, tra i quali non si troverà mai un esemplare che sia la copia esatta di
un cavolfiore già visto.
Ancora una volta ci troviamo in presenza
di quei paradossi che solo la dimensione dell’infinito rivela; solo chi ha il
coraggio di addentrarsi su questo piano può arrivare a intuizioni che ai più
sfuggono, come la proposta leibniziana degli infiniti universi che, in Dio,
coesistono eternamente come realtà in atto mentre, per noi, nella dimensione
finita, ognuno di essi esclude gli altri; per cui se ci sintonizziamo sul
finito e viviamo radicati in uno di questi universi, non potremo mai vedere gli
altri: Luigi che è andato a Torino, non potrà vedere contemporaneamente “il”
Luigi che è rimasto a Milano, eppure in Dio coesistono entrambi realmente.
Il lettore si chiederà se siamo
eternamente condannati a questa impossibilità. Dal nostro punto di vista
rispondiamo di no, perché se è vero che siamo ancora parenti prossimi
dell’animale, che vive l’attimo e non è capace di ricordare il passato e
di anticipare il futuro, siamo
però anche già capaci di utilizzare il tempo come una forma di energia liberatoria
e, aumentando la nostra consapevolezza, possiamo arrivare a sceglierci con
sempre maggiore determinazione il futuro. Proprio perché ricordiamo che
d’inverno fa freddo, siamo capaci, unici tra gli animali, di scegliere
volontariamente di sudare sotto il sole di luglio a segare e spaccare legna, perché
pensiamo all’inverno futuro; gli animali che fanno qualcosa di analogo sono
dominati dall'istinto e non sono in grado di scegliere individualmente il
proprio comportamento: non vedrete mai una formica che interrompe la fila e si
ferma a mangiare un po’ del cibo che sta portando al nido, mentre noi possiamo
decidere, in qualunque momento, di fermarci interrompendo il lavoro che stiamo
portando avanti.
Nel momento in cui facciamo queste
scelte, proprio perché ricordiamo il passato e anticipiamo il futuro, ci
mettiamo nella condizione di andare a vedere, tra gli infiniti universi
possibili, quello in cui avremo la catasta di legna pronta per l’inverno.
Naturalmente poi, proprio perché siamo immersi nell’infinito, non avremo mai la
certezza assoluta che la scorta di legna sia sufficiente, perché i possibili
eventi imprevisti che potrebbero azzerare la nostra previsione sono troppi, ma
questo rientra proprio nella dimensione di infinito in cui siamo immersi.
Ancora una volta si riapre qui lo
spazio per la fede come unica scelta che possiamo fare, perché altrimenti
ricadiamo nella dimensione filosofica che fa sua la pretesa dello scienziato di
prendere le misure di Dio: la filosofia non ci deve portare a dire che abbiamo
capito tutto, ci serve per cogliere i nostri limiti e credere in Dio come
radice ultima e, di conseguenza, avendo capito che le nostre radici hanno
questa infinita potenza, ci permette, pur nella consapevolezza dei nostri
attuali limiti, di recuperare la certezza di poter evolvere e crescere.
In altre parole, grazie alla
filosofia possiamo giungere ad una religiosità meno “ingenua”, per cui Dio
diventa il senso del mondo e la fede consiste, appunto, nel credere che il
mondo ha un senso. Con questo non abbiamo la pretesa di andarlo a verificare fino
in fondo, ma per un credente è una grande consolazione constatare che la teoria
dei frattali è un nuovo sviluppo della matematica che ci ha permesso di
giungere a considerazioni che l’esoterismo ha da sempre proposto. I
matematici che, grazie alle possibilità offerte dai moderni calcolatori, hanno
scoperto le nuove frontiere degli “oggetti frattali” possono anche essere e
rimanere lontani dalla fede propria di un credente, ma quest’ultimo, che dal
fascino geometrico della galaverna prodotta dalla rigida temperatura invernale
risaliva alla suprema intelligenza che si rivela nel mondo, rimane
ulteriormente confermato nella propria fede, nel momento in cui la teoria
frattale comincia a intuire il tipo di algoritmi matematici che possono
spiegare l’infinita varietà e armonia che regna nella natura: come esempio tra
gli infiniti possibili proviamo a pensare al fatto che ogni gemma di un albero
è un “oggetto frattale”, capace di riprodursi in modo sempre nuovo e,
contemporaneamente, sempre autosomigliante, per cui le foglie e i frutti che
nasceranno da quelle gemme saranno sempre e soltanto di quel certo tipo di
pianta e non altro.
Possiamo aggiungere che, se lo
studioso, che con la propria logica ha elaborato l’algoritmo e ha prodotto il
software che permette alla tecnologia di mettere sotto i nostri occhi la
bellezza del mondo frattale, si tiene prudentemente lontano dalle certezze
proprie della fede, è anche perché nei secoli scorsi ha dovuto lottare
duramente contro le Chiese storicamente sviluppatesi che hanno sempre avuto
paura della scienza, colpevole di mettere in discussione i dogmi su cui la
classe sacerdotale ha radicato i privilegi sociali a cui non vuole rinunciare.
La dimensione religiosa che, invece, l’esoterismo propone non solo non
ha paura della scienza, ma la vede anzi come un’ulteriore possibilità di
aumentare la conoscenza dell’uomo, che ci permette di scoprire, in modo sempre
più convincente, il Logos che regge il mondo e che, nella sua infinita
potenza, cogliamo come un abisso vertiginoso e affascinante, ... come il mondo
dei frattali.
Il paradosso frattale della linea
prodotta dal punto in movimento sul piano che, al limite, cessa di appartenere
al piano per entrare nella terza dimensione, in un processo che si sviluppa con
originalità infinita, ci riporta a Leibniz, che era giunto a queste intuizioni
riflettendo sullo sviluppo del medesimo seme capace di produrre legname,
foglie, semi, essenze,… e con la capacità di giungere a colonizzare un intero
pianeta: espressione dell’infinita potenza che si esprime in ogni pur minimo
dettaglio del mondo, come realtà che nel divenire esprime l’intelligenza
divina, in quella forma che l’uomo non può dominare e che, proprio per questo,
la prudenza scientifica definisce caos.
L’esoterismo non ha la
pretesa di insegnare agli scienziati che cos’è il mondo, ma, più semplicemente,
ci permette di utilizzare tranquillamente e con grande soddisfazione i prodotti
tecnologici che quella scienza è in grado di produrre e, intanto, ci riconcilia
con la vita, ci riporta in un mondo che ha senso, cosa che la scienza non può permettersi di fare.
Tutto questo ci consente di non
diventare succubi della tecnologia, recuperando, con la nuova consapevolezza
raggiunta da una fede che si è riconciliata con la scienza, quella serenità che
oggi i più cercano vanamente inseguendo lo sviluppo tecnologico nato da una
scienza senza anima.
Si è schiavi della tecnologia nel
senso che, per esempio, non avremo mai automobili sufficientemente veloci,
perché avremo sempre voglia di qualcosa che vada più veloce ancora, quando
invece possiamo riflettere con serenità sul fatto che soltanto cento anni fa
nessun sovrano, neanche il più potente sovrano del mondo, era in grado di
viaggiare, come noi ora, con l’aria condizionata, sentendo della buona musica,
difesi dalla polvere e dalle asperità della strada; riusciamo, invece, a
mettere in mostra la nostra scontentezza e la conseguente aggressività al
minimo rallentamento del traffico.
Tutto questo perché non abbiamo
ancora capito che ciascuno di noi è, dal punto di vista materiale, una
superficie finita che, però, racchiude una potenzialità di coscienza infinita:
in ciascuno di noi, con il processo di sviluppo di autosomiglianza, l’archetipo
divino di infinita potenza si esprime e si diversifica nella realtà dello
spazio e del tempo, che è il nostro attuale livello di percezione
dell’eterna-infinita identità di Dio con se stesso.
Torniamo ancora a quel che viene
detto nel filmato:
“ […] Qui regna sovrano il caos. Tutti
i punti gialli presi insieme formano il dominio del magnete giallo, il suo
cosiddetto bacino di attrazione; è una struttura che presenta fibre anche
sottilissime, che si intrecciano in modo disordinato. Partendo da un punto
qualsiasi del bacino la pallina finisce sul magnete giallo e quanto più tempo
ci mette per fermarsi tanto più scuro è il colore della sottoregione
corrispondente; partendo da qui si ferma subito, poi le occorre un tempo sempre
più lungo. La forma delle regioni di attrazione può cambiare parecchio se
mutano le condizioni sperimentali, cioè le grandezze che i matematici chiamano
parametri, per esempio la lunghezza del filo, l’intensità dell’attrazione
magnetica, di quella gravitazionale e così via. In questa simulazione al
calcolatore è facile ridurre la forza gravitazionale della Terra a quella della
Luna e far sì che le strutture si districhino pian piano l’una dall’altra, poi
la forza gravitazionale viene riportata al valore che ha sulla Terra, in ogni
caso osserviamo un fenomeno curioso, ovunque i due colori si incontrano sembra
che si interponga una sottile striscia del terzo colore; per quanto si può
verificare questa proprietà si mantiene fino alle ramificazioni più sottili; è
giusta quest’impressione? Può esistere una tale linea di demarcazione
infinitamente frastagliata? La risposta è sì.”
E’ l’infinito che si rivela.
Ci fermiamo qui, perché adesso entra in gioco tutto un
discorso tecnico che potrebbe essere ripreso e approfondito soltanto da un
matematico e, in questa sede, diventerebbe impegnativo e tedioso per i più.
La matematica con Leibniz e Newton
ha riscoperto l’infinito, la geometria frattale adesso dà la possibilità, anche
alle persone che non hanno la capacità di intuire con mente matematica questi
giochi sottilissimi, di vederli graficamente sviluppati su un monitor,
semplicemente perché alla radice di questi disegni c’è la potenza di calcolo di un computer: sono
passate poche generazioni e ciò che solo pochi matematici erano in grado di
intuire adesso lo possiamo vedere tutti.
E’ l’infinito che si rivela alla
radice di quella dimensione che nella nostra limitatezza continuiamo a chiamare
caos, l’infinito che, per il credente, ha alla sua radice sempre algoritmi
matematici.
Se poi si modifica la lunghezza del
filo, se si modificano la potenza e la posizione dei tre magneti cambia sempre
tutto, ma alla fine non è che venga sconvolto un disegno, che da bello che era
diventa brutto: il disegno diventa diverso, ma è sempre affascinante. Sono
cambiati i parametri ma non
l’algoritmo matematico attraverso il quale si esprime l’ordine e la
perfezione delle leggi che governano i fenomeni.
Come dire che, da qualunque parti lo
si guardi, il mondo rivela, a chi ha la capacità di esaminarlo in profondità
facendone emergere la dimensione razionale, la presenza di Dio.