1.13 -  Da Eraclito, Pitagora e Leibniz alla matematica e alla geometria dei frattali.                                                                     (.htm)

 

 

 

 

Il titolo dà già un’idea precisa della direzione in cui intendiamo muoverci.

L’intento è quello di far cogliere al lettore il filo di continuità che lega la recente geometria frattale con quelle che a suo tempo erano autentiche provocazioni logiche di alcuni filosofi dell’antica Grecia.

Quando avremo messo a fuoco i possibili collegamenti tra la metalogica di Pitagora e quella geometria frattale che con i suoi algoritmi sembra, per tanti versi, suggerirci che la visione pitagorica può essere ancora oggi un modo affascinante di tentare una risposta ai perché della vita, potremo utilmente dare uno sguardo alla macrobiotica, intesa come dottrina filosofica che giustifica precise scelte sul piano dietetico che presuppongono, come base di partenza, proprio questi principi che la logica comune definisce paradossali.

 

 Su Zenone, Anassagora e Democrito forniremo solo pochi cenni perché qui cercheremo di individuare nei tre filosofi presocratici soltanto il denominatore comune su cui innestare la teoria frattale.

 

 

 

Zenone

 

Zenone è noto come filosofo provocatore per avere messo in luce senza riserve l’inconciliabilità tra pensiero dell’uomo, quando questo pensiero segue con un certo rigore la logica, e la visione del mondo che i nostri sensi ci permettono di avere. Di lui si raccontano diversi esempi che sottolineano l’esistenza di questi problemi irrisolti: noi ne citeremo soltanto alcuni, anche qui rapidissimamente.

Quello di Achille e la tartaruga: se noi abbiamo, dice Zenone, nel punto A Achille e nel punto T, più avanzato nella direzione del percorso, la tartaruga e insieme Achille e la tartaruga scattano in avanti nella stessa direzione, dice Zenone, Achille, il piè veloce Achille, non raggiungerà mai la tartaruga, perché Achille deve prima percorrere il tratto da A a T e quando sarà arrivato a T, noi chiameremo A1 il momento di Achille; nel frattempo però la tartaruga sarà arrivata a T1 a sua volta; a questo punto Achille deve percorrere A1–T1, e superando questo A1–T1, Achille arriva ad un A2 e la tartaruga arriva a un T2: è chiaro che andando avanti in questi termini, si va avanti all’infinito, perché il concetto stesso di spazio implica la divisibilità all’infinito.

Secondo esempio: la freccia che viene scagliata dall’arco verso il bersaglio, dice Zenone, non può arrivare al bersaglio perché la freccia compie il tragitto dall’arco al bersaglio in un tempo t, ma questo tempo t è costituito di attimi e in ogni attimo, che per definizione è un atomo indivisibile senza alcuna durata di tempo, la freccia è necessariamente ferma in un certo punto dello spazio e Zenone si chiede come si fa, facendo la somma pur infinita di attimi di immobilità, a completare un tragitto, perché 0+0+0… (perché, se è ferma, lo spazio che percorre è zero), darà sempre risultato nullo.

Zenone voleva sottolineare il doppio problema: o il mondo che noi vediamo non è esattamente come lo vediamo, oppure quel pensiero, quella coscienza che fa dell’uomo un animale più evoluto è proprio un handicap, perché se io lo uso con un rigore che supera una certa soglia mi porta a leggi e regole che il mondo non rispetta.

In realtà la radice della complicazione si trova nel fatto che Zenone parte dal finito, la distanza tra l’arciere e il bersaglio, la distanza iniziale che separa Achille dalla tartaruga… e poi, dalla realtà concreta, sposta il suo ragionamento sul piano dell’infinito: l’infinita divisibilità dello spazio, che separa alla partenza Achille dalla tartaruga e l’infinita divisibilità del tempo, che la freccia impiega per arrivare al bersaglio, e le constatazioni, che noi facciamo sul piano dell’infinito, non hanno riscontro sul piano della realtà concreta.

Zenone aveva anche intuito la dimensione della relatività, quando faceva l’esempio dei due cavalieri che, sulla strada, si incrociano al galoppo proprio in corrispondenza di un osservatore seduto a terra vicino ad un obelisco e nel momento in cui una cinghia di cuoio dei due cavalieri colpisce sia l’altro cavaliere che lo spettatore, che è lì seduto, Zenone osserva che il colpo ha una forza diversa per il cavaliere rispetto all’uomo seduto, perché il cavaliere lo percepisce con una forza doppia dal momento che si sommano le velocità dei due cavalli, mentre per lo spettatore si ha la velocità di un solo cavallo e il filosofo pone il problema di quale sia la valutazione corretta del fenomeno.

Fermiamoci qui, perché adesso non ci interessa andare oltre sul pensiero di Zenone.

 

 

 

 

 

Anassagora

 

Anassagora e Democrito rappresentano due diversi modi per uscire dai paradossi di Zenone; quello di Anassagora è filosoficamente più evoluto, più impegnativo, perché è giunto a smaterializzare il mondo: come dire, se vogliamo stringere in estrema sintesi, è giusto il nostro pensiero e la logica che lo sorregge, ed è “sbagliato” il mondo che noi vediamo. Con questo Anassagora non intende affermare che il mondo non esiste, semplicemente dice che non è come noi lo vediamo con i nostri strumenti di percezione, e per dire questo Anassagora elabora una visione del mondo che è, in un certo senso, l’intuizione di quello che sarà il discorso di Leibniz, ovviamente non così perfezionato.

Anassagora afferma che il mondo è costituito di infiniti semi, assolutamente immateriali, perché solo così si possono superare le difficoltà già messe in luce da Zenone tra la coerenza logica, che il nostro pensiero utilizza come strumento di valutazione, e la percezione del mondo dataci dai nostri sensi.

Leggiamo una sua citazione:

 

 “In effetti del piccolo non c’è il minimo, ma sempre un più piccolo, poiché ciò che è non può diventare non essere.”                              (Diels, 59 B, 3)

 

E’ vero ed è giusto parlare di infinita divisibilità dello spazio: se lo spazio è realtà oggettiva, per quanto piccolo, potrò sempre immaginare di dividerlo ancora ulteriormente; potrai dirmi che non abbiamo gli strumenti necessari per andare ancora a suddividere quella dimensione così ridotta, ma questo non vuol dire che su un piano di pura logica non sia divisibile ulteriormente, perché se lo spazio è realtà, non può diventare non realtà.

 

 “Ma anche del grande c’è sempre un più grande ed è uguale in estensione al piccolo.”     (Diels, 59 B, 3)

 

Ecco l’altro paradosso di Anassagora, che si oppone a Zenone: come Zenone ci metteva di fronte ad una constatazione inaccettabile, così Anassagora afferma provocatoriamente che il più grande è uguale al più piccolo: in realtà il problema sparisce se solo teniamo presente che egli parla dei semi di cui è costituito il mondo, che poi successivamente verranno definiti come omeomerie. Questi semi sono immateriali.

Per cogliere la coerenza delle affermazioni del filosofo presocratico, prendiamo in considerazione il nostro pensato: possiamo definirlo come un piccolo pensiero, nel senso che lo pensiamo un attimo e poi, invece, per tutto il giorno siamo concentrati su un grande pensiero, un grande problema, ma in realtà, per quanto piccolo, il pensiero precedente, che per un attimo mi ha sfiorato, io lo posso recuperare approfondendolo al punto di farlo diventare un progetto di vita. Sul piano immateriale la differenza grande/piccolo non ha più senso, i pensieri coesistono e possono coesistere infiniti grandi pensieri, nel senso che sono sempre presenti e accessibili alla mia coscienza che, in nessun momento, può essere definita colma, al punto da non poter più ospitare un nuovo pensiero.

Secondo Anassagora questi semi hanno costituito il mondo sotto la spinta di una Mente, che egli chiama il Nous: è Dio, è un modo, se pure ancora vagamente antropomorfo, filosoficamente meno ingenuo di intendere Dio come principio ordinatore del mondo, e questa definizione di Dio si avvicina in qualche modo alla definizione suggerita poi da Plotino, quando parlerà dell’Uno. Anassagora afferma:

 

 “L’intelletto è separato, a nessuna cosa è mescolato, ma è solo, lui, in se stesso, ed è causa della nascita del mondo come separazione dal miscuglio originario.”

                                                       (AA. VV. – I Presocratici. Testimonianze e frammenti – ed. Laterza, pag. 606)

 

In realtà dai frammenti delle opere di Anassagora pervenuti fino a noi non possiamo dire se questo miscuglio originario si contrapponesse al Nous o emergesse come megapensiero del Nous, però tutto ci fa pensare, dal momento che ha smaterializzato il mondo, che all’interno del Nous ci sia questa dimensione di compresenza in senso aspaziale dei semi, che poi il Nous ordina dando origine al mondo.

Per questo dicevamo che il discorso di Anassagora è un discorso evoluto, perché ci invita a stare attenti a non credere che il mondo sia quello che noi vediamo, anticipando curiosamente la conclusione per certi versi analoga a cui è giunta la fisica contemporanea. Un limite del discorso di Anassagora, può essere individuato nella sua affermazione che questi semi fossero qualitativamente diversi, in una serie infinita di qualità diverse; in altre parole, i semi che costituiscono le ossa non sono i semi che costituiscono la carne, che non costituiscono il sangue, che non costituiscono le pietre, e, a questo punto, è inevitabile concludere che ha cercato di risolvere i problemi che il mondo ci prospetta smaterializzandolo, ma poi ha moltiplicato all’infinito i problemi individuando un infinito numero di qualità diverse originarie dei semi, desunte proprio da quella realtà materiale che egli aveva inteso negare e superare.

 

 

 

Democrito

 

Per quanto riguarda Democrito, egli ha scelto la strada apparentemente più facile, perché ha riconosciuto che il mondo che noi vediamo esiste; non solo esiste, ma è, esattamente, quello che noi vediamo; però ha dovuto pagare un prezzo, per poter dire questo: se il mondo esiste ed è come lo vediamo per cui, di conseguenza, esiste una sua radice ultima, ha dovuto sorvolare sul fatto che proprio la componente fondamentale della realtà è contraddittoria sul piano logico. Questa radice ultima che, in quanto tale, deve risultare non più ulteriormente divisibile, è stata da Democrito definita atomo, proprio perché questo termine, etimologicamente, significa “che non si può dividere”. In tal modo egli ha ridato concretezza agli oggetti della esperienza quotidiana, perché risultano costituiti di un numero incalcolabilmente alto ma comunque definito di “mattoni”, ciascuno dei quali è l’elemento ultimo della realtà e, con una felice intuizione, Democrito afferma che questi atomi sono tutti uguali come sostanza, diversi, invece, come forma e da quest’ultima hanno origine le diverse caratteristiche di tutte le cose che fanno parte della realtà materiale.

Il concetto di atomo di Democrito accompagnerà la scienza fino al XIX secolo, e rimarrà come un postulato di partenza sul quale sarà necessario convenire: se vogliamo credere che il mondo possa essere pesato, misurato, studiato, indagato, dobbiamo accettare che esista sul serio e quindi che sia fatto di atomi, semmai il limite della ricerca scientifica sarà proprio quello di credere, a livello teorico, di poter arrivare concretamente a dominare quella “cosa” chiamata atomo.

Nel XIX secolo un chimico russo, Mendeleev, definirà in un centinaio gli atomi costituenti il mondo, proponendo la loro classificazione in una tavola che mette in evidenza il periodico ripetersi delle loro proprietà chimiche, raggruppando quelli con comportamento affine e, con il chimico russo, gli atomi verranno definiti irriducibili tra loro, per cui gli atomi appaiono tra loro qualitativamente diversi e, in questo senso, viene contraddetto il discorso di Democrito.

Nel secolo successivo la fisica arriverà a demolire il principio della irriducibilità degli atomi affermando che, in quanto materializzazioni di energia, si differenziano tra loro per il fatto di essere strutture più o meno complesse dal punto di vista energetico, per cui, anche se per ora resta una possibilità teorica, dal punto di vista scientifico si accetta, come ipotesi di ricerca, il sogno degli alchimisti di trasformare tra loro sostanze diverse, che per secoli è stata definita come ridicola ingenuità.

A questo punto torna ad avere ragione Democrito, quando diceva che tutti gli atomi sono fatti della stessa sostanza, perché è esattamente quello che dicono i fisici oggi.

Questi ultimi, però, hanno cominciato a fare nel XX secolo discorsi provocatori per il buon senso comune, discorsi che richiamano più i paradossi di Zenone che non la solidità concreta di Democrito: la fisica contemporanea ci ha demolito il mondo nella sua dimensione di concretezza così come è percepita dai nostri sensi, per cui una pietra che ai nostri sensi appare come compatta, pesante e inanimata è, nella sua struttura più profonda, costituita di atomi che sono spazi “vuoti” per il 99% e che appaiono “pieni” perché sono campi di energia in equilibrio dinamico.

In realtà la fisica ha potuto fare questo discorso perché già la matematica nella seconda metà dell’Ottocento aveva demolito i principi sui quali si basava la logica dell’uomo comune: la matematica aveva rimesso in discussione i principi della geometria classica, affermando che non è vero che per un punto può passare una ed una sola retta parallela ad un’altra data, perché ne passano infinite e ciò perché il piano euclideo -all’”interno” del quale si dimostra che, dato un punto, esterno ad una retta, per questo punto passa una ed una sola parallela alla retta data- costituisce una inaccettabile riduzione e banalizzazione descrittiva della realtà che è ben più complessa di quanto i nostri sensi ci registrano come esistente.

Quando si giunge a questo livello di intuizioni ci ritroviamo, di fatto, nel cuore del messaggio esoterico che da sempre l’uomo ha posseduto e che da sempre sfugge ai più, visto che richiede una capacità intuitiva non comune e, insieme, impone necessariamente una coerenza di vita che non ha più bisogno di prescrizioni e punizioni sul piano terreno o di minacce proiettate sul piano ultraterreno.

 

 

La geometria frattale

 

La geometria frattale, che è relativamente recente, si inserisce come ulteriore provocazione nella critica alla convinzione che il mondo sia tale e quale i nostri sensi ce lo testimoniano e, in questo senso, possiamo dire che la teoria frattale sia l’ultima espressione di quella singolare capacità di pensare al mondo in termini alternativi, che vede in Pitagora, Zenone, Eraclito, Leibniz espressioni geniali, che hanno operato nella nostra cultura una spinta a pensare il mondo in termini meno ingenui.

 

Prima di proseguire ricordiamo una barzelletta, che viene utilizzata per sottolineare come anche nella scienza ci siano spazi di ricerca serissimi, che utilizzano la logica a livelli diversi.

Nella barzelletta abbiamo un astronomo, abituato a lavorare sugli anni luce, un fisico, abituato a lavorare sulle dimensioni del neutrino, e un matematico, che è abituato a ragionare sulla logica pura.

Questi tre studiosi, in questo caso extra-europei, stanno viaggiando su un treno in Scozia e a un certo punto si vede in un prato una pecora nera; l’astronomo osserva: “Ma guarda, in Scozia le pecore sono nere”; il fisico lo guarda con sufficienza e ribatte: “Diciamo, meglio, che in Scozia ci sono delle pecore nere”; il matematico guarda con estrema sopportazione i due e dice: “No, diciamo che in Scozia esiste almeno una pecora la cui metà sinistra è nera”.

 

La geometria frattale ci chiederà di utilizzare la matematica proprio su una dimensione di logica coerente e questa ci riporterà a scoprire che il mondo è, come diceva Zenone, assolutamente incomprensibile così come ce lo presentano i nostri sensi. A questo punto, quale sarà la conclusione? Non la relatività totale, non la perdita definitiva della verità, quanto piuttosto la riscoperta dell’infinitudine divina che si palesa nel finito. Ciò che per secoli ci è stato descritto come realtà conclusa e finita ci si rivelerà come l’infinito in atto, che solo la nostra limitata capacità di percezione e la nostra arroganza intellettuale ci hanno impedito di cogliere come la dimensione divina nella quale siamo immersi.

 

Abbiamo accennato al pensiero di Zenone, di Anassagora e di Democrito e abbiamo detto che ci ponevano, già 2500 anni fa, di fronte a problemi che ancora oggi sono non risolti e che la geometria e la matematica frattale ci aiutano a vedere con occhi nuovi.

Problemi che la teoria frattale comincia ad indagare utilizzando tecniche nuove, prima inaccessibili: questi problemi restano aperti per cui, dal punto di vista scientifico, correttamente si continua a parlare di caos, che rimarrà sempre tale, perché non sarà mai possibile esaurire l’infinita varietà dei fenomeni che appartengono alla dimensione caotica, come, ad esempio, le volute del fumo di un incendio, il fluire dell’acqua in un torrente di montagna, il dispiegarsi delle forme di una nuvola sfilacciata dal vento,… ma il fatto che, alla base di alcuni fenomeni che erano classificati come caotici, la teoria frattale abbia scoperto l’esistenza di algoritmi matematici che li possono spiegare, permette al filosofo di recuperare la concezione pitagorica e platonica del mondo come manifestazione dell’ordine e della bellezza, in altre parole, di Dio.

Zenone ci proponeva in ultima analisi il quesito, irrisolvibile nei termini in cui egli lo proponeva: o è falso il mondo che percepiscono i nostri sensi, falso nel senso che esiste, ma non è esattamente quello che i nostri sensi ci testimoniano, oppure il pensiero che l’uomo usa per comprendere e descrivere il mondo non è lo strumento adatto per disquisire su quello che noi percepiamo come mondo, e i suoi paradossi erano lì a testimoniare questo problema.

Anassagora lo aveva risolto facendo una scelta di campo: dal momento che non si può salvare capra e cavoli, aveva smaterializzato il mondo; è chiaro che a questo punto valgono le leggi della logica, del pensiero umano. Però, conseguentemente, bisognava accettare che la nostra percezione del mondo è una approssimazione –usiamo terminologie moderne– molto rozza di un tipo di energie, che solo su un piano spirituale  possono essere intuite in modo corretto.

Democrito, invece, aveva scelto la strada opposta, definendo vero il mondo così come lo percepisco, dal momento che, se mi cade una pietra in testa, ho delle sensazioni ben precise, che non possono essere scambiate per  vaneggiamenti, ma aveva finito per chiederci di accettare che alla base della realtà del mondo esista un mattone fondamentale della materia, concepito però in modo tale che, dal punto di vista logico, è un vero e proprio assurdo.

Abbiamo anche detto che nel corso del XIX secolo la matematica, che fino a quel momento era sviluppata prevalentemente nell’ambito della soluzione di problemi concreti, aveva finito per uscire dalla dimensione dell’esperienza propria dell’uomo comune qualificandosi, piuttosto, come sistemazione di tipo ipotetico-deduttivo verso livelli di sempre maggiore astrazione.

Leibniz, come filosofo e, contemporaneamente, anche grande matematico, aveva proposto addirittura infiniti universi, tutti ugualmente veri, e quello che ciascuno di noi sperimenta ci appare, a posteriori, caratterizzato da una linea di sviluppo coerente, come un continuum, mentre, in realtà, è il risultato di una serie infinita di scelte, che si dipanano attimo dopo attimo all’interno dell’infinito eterno presente divino, come –per fare un esempio oggi più comprensibile grazie agli sviluppi della tecnologia multimediale– la lettura di un ipertesto, che ciascuno di noi si può costruire liberamente.

La fisica nel corso del XX secolo è giunta a mettere in discussione la realtà dello spazio–tempo che da Newton in poi, salvo poche eccezioni, erano sempre stati considerati come realtà oggettive, ed è proprio sulla base di questa rimessa in discussione che la fisica, scienza del mondo concreto per eccellenza, aveva finito per costituire nel nostro secolo un elemento destabilizzante di quelle realtà, di quelle certezze, di quelle verità su cui per secoli avevamo contato con sicurezza. La teoria frattale si inserisce in questo processo di demolizione della realtà del mondo percepita attraverso i nostri sensi e recupera i paradossi di Zenone come espressione di una problematica più che mai attuale, che molti, superficialmente, pensavano ormai relegata come momento curioso nella storia del pensiero umano. Oltre a ciò la geometria frattale riapre le porte a quelle soluzioni, a quelle intuizioni che già erano state proposte da Pitagora, per cui oggi il matematico, grazie alla geometria frattale, si ritrova più vicino alla dimensione del  credente, di un credente testimone di una fede filosoficamente evoluta che si è spogliata delle ingenuità antropomorfe tipiche della fede dell’uomo comune.

E qui recuperiamo ancora una volta la dimensione provocatoria della affermazione di s. Agostino, richiamata al punto 0.2 (Religione e macrobiotica), per cui la difficoltà maggiore ad accettare questo punto di vista consiste nel fatto che, se vera, rimette in discussione tutte le certezze religiose che da secoli sono state imposte nell’area cristiana.

 

Fermiamoci ora un attimo per fare alcune precisazioni al discorso sui frattali degli studiosi Lorenz e Mandelbrot: precisazioni, perché Lorenz e Mandelbrot, che sono scienziati,  si muovono nell’ambito proprio della scienza, mentre qui vogliamo utilizzare il loro discorso in un ambito diverso, quello filosofico.

 

Le citazioni riportate più avanti e su cui faremo alcune riflessioni sono tratte da una videocassetta: “I Frattali” presentati da E. Lorenz e B. B. Mandelbrot; un film di H. O. Peitgen, H. Jurgens, D. Saupe, C. Zahlten – Università di Brema – Spektrum Videothek. Edizione italiana a cura della redazione di “Le Scienze” – 1991 – Traduzione di G. O. Longo, coordinamento M. Fossati.

Questa videocassetta non è più in commercio, ma è stata a suo tempo acquistata da molti istituti scolastici ed è recuperabile presso le loro biblioteche. Per chi non avesse la possibilità di trovarla ci sono ormai in commercio molte pubblicazioni, per cui chi fosse interessato a questo discorso non avrà difficoltà a trovare materiale adeguato per approfondirlo su testi e pubblicazioni più recenti rispetto alla videocassetta citata.

 

Mandelbrot, che è stato colui che nel 1977 ha proposto il termine di frattale e che, nel filmato sopra citato è il primo dei relatori, ha affermato che in natura esistono forme regolari e irregolari: quelle regolari sono una minoranza, di solito, e cita la figura circolare della luna, la sfera del sole, l’ellisse dei pianeti, a cui egli contrappone esempi come le nubi, le volute del fumo, le lingue di fuoco, che sono assolutamente irregolari e, perciò, definite come fenomeni caotici.

Prima precisazione: forme regolari, nel senso di forme geometriche perfette, così come la geometria classica ce le descrive, in natura non esistono, non ne sono mai esistite; la Luna ci richiama la forma di un cerchio, nel senso che tale ci appare ad occhio nudo, in realtà non può essere un cerchio perfetto perchè non è una sfera perfetta, come non lo è la Terra, che ha uno schiacciamento ai poli dovuto al suo moto di rotazione e al fatto che l’interno della Terra è plastico, per cui la forza centrifuga dà origine a questa deformazione; oltre al fatto che, come nel caso della Luna, la sua superficie è tanto meno regolare quanto più dettagliata è l’osservazione. Non parliamo della superficie del Sole, che ha protuberanze e crateri in continua evoluzione determinati da gigantesche esplosioni all’interno della sua massa che danno origine a deformazioni visibili e misurabili in centinaia di migliaia di chilometri; per non parlare poi del fatto che noi potremmo prendere i miliardi di alberi che esistono sulla Terra, tagliare “a fette” centimetro per centimetro i loro tronchi e mai troveremo un cerchio perfetto.

In natura ci sono infinite forme che richiamano quelle perfette, trattate dalla geometria: è per questo che  Platone ha affermato che il cerchio, il triangolo equilatero, i poligoni regolari,… come forme perfette sono archetipi, sono cioè le idee che hanno ispirato il divino demiurgo che ha plasmato il mondo nel quale gli oggetti, in qualche modo, rimandano alla perfezione del modello archetipale. Questo discorso, che in Platone voleva essere un invito ad un livello di intuizione più alto, diventa in Galilei una affermazione netta, con la ingenuità di fondo di una concezione antropomorfa di Dio, il quale ragiona in termini matematici e la grandezza dell’uomo sta proprio nell’essere capace, seppure in termini quantitativamente finiti, di cogliere la dimensione matematica e, perciò, perfetta della mente di Dio.

In realtà nel mondo forme perfette non esistono, proprio perché, essendo la nostra dimensione soggetta al divenire ed essendo infinita la potenza degli archetipi, risulta infinitamente variegata la espressione, sul nostro piano, della loro potentia generandi. Ciascuna di queste espressioni finite tende, senza equivoci, ad esprimere la perfezione dell’archetipo.

D’altra parte, quella dimensione caotica che Mandelbrot opponeva alle forme che egli definiva “giuste”, in realtà anch’essa rivela, se studiata con la dimensione frattale, la bellezza, l’armonia, il rigore matematico delle forme perfette: a questo punto, come filosofi, concluderemo con la constatazione che, allora, il mondo è tutto intero, sia in quelle che gli scienziati chiamano forme caotiche sia in quelle che chiamano forme regolari, è tutto intero espressione di una tensione verso il rigore matematico e la bellezza, ma questo è, esattamente, il discorso di Platone e di Pitagora.

Ancora, Mandelbrot cita le ellissi dei pianeti come forme regolari; abbiamo già detto che non esistono nello spazio-tempo forme perfette, neanche nelle ellissi dei pianeti, basta fare considerazioni ovvie, come quella per cui il pianeta Terra, nel momento in cui percorre un’orbita intorno al Sole, è trascinato dal movimento del Sole all’interno di un movimento della galassia in cui siamo compresi, quindi il pianeta Terra non muove intorno a un punto fisso, che è il Sole, lo è per noi un punto fisso, in realtà il Sole a sua volta si muove e trascina con sé tutta la coorte dei pianeti e quindi, quelle che definiamo le loro ellissi, sono una pura astrazione. Ricordato questo, risulta ovvio il fatto che la Terra, trascinata da questo movimento, che è della galassia e quindi anche del Sole, attraversa zone dello spazio cosmico più o meno ricche di meteoriti, per cui in certi anni la Terra riceve più meteoriti e in certi altri meno, per cui la sua massa viene a subire delle variazioni: saranno infinitesimali queste variazioni, rispetto alla massa della Terra, ma proprio Lorenz è il primo a dirci che quando si introduce una variabile apparentemente insignificante, verrà, prima o poi, il momento in cui quella variazione, che sembrava insignificante, viene ad avere il peso del segnale iniziale, in altre parole ha stravolto completamente le previsioni, modificando radicalmente la dimensione iniziale del fenomeno.

Per lo stesso principio, la Terra, nel momento in cui viene ad essere colpita da più meteoriti rispetto all’anno precedente, modifica la propria orbita intorno al Sole in modo apparentemente insignificante, perché la Terra che acquista più massa con una maggiore quantità di meteoriti, allunga la sua orbita, però poi aumenterà la velocità di avvicinamento del Sole, per cui apparentemente non cambia niente, ma a tempi lunghi sì: potrebbe essere proprio l’accumularsi di queste pur minime variabili una possibile spiegazione del fatto per cui il nostro pianeta che, oltre a ruotare su se stesso e percorrere l’orbita intorno al Sole, oscilla anche sul proprio asse, ha già cambiato nel passato il proprio asse di rotazione.

Tutto questo per dire che nell’universo non c’è nulla che sia matematicamente sempre perfetto ed esatto come le forme contemplate dalla geometria classica e l’esempio portato da Lorenz del battito di ali della farfalla, che può essere all’origine di un uragano che in un altro continente distrugge una zona piuttosto che un'altra, è una considerazione apparentemente paradossale suggerita dalla teoria frattale che ha sconvolto quelli che erano i normali parametri delle previsioni meteorologiche: l’uomo ha solo bisogno di mettere a fuoco sempre meglio le variabili in gioco oggi, per vedere poi le previsioni del tempo sempre più sicure allungarsi nel tempo, si diceva. Lorenz afferma che ciò non sarà mai possibile perché non si potrà mai calcolare variabili come il battito d’ali delle farfalle di un’area di centinaia di chilometri quadrati, dal momento che anche quelle, a tempi lunghi, diventano una misura determinante e significativa perché si realizzi o meno un certo tipo di fenomeno, che si pretende inizialmente di prevedere.

Per questo la geometria frattale sembra di nuovo essere un elemento che nel XX secolo azzera le certezze: certamente, azzera le certezze di tipo tradizionale, la certezza e la pretesa di “prendere le misure di Dio”, di poter pensare di avere in pugno il senso del mondo. Non potremo mai avere in pugno il senso del mondo, perché stiamo parlando dell’infinito, stiamo parlando di Dio.

Aveva ragione Zenone, quando ci spostava dal finito all’infinito e ci faceva osservare che a questo punto i conti non tornano più. Quando lo scienziato misura i fenomeni concreti e non pretende di arrivare alla previsione assoluta, ma solo di arrivare a quella approssimazione che può esserci utile, allora ha perfettamente ragione e la scienza è legittimata come ricerca ma, quando la scienza pretende di arrivare a scoprire il senso ultimo del mondo, la misura ultima degli eventi, il mattone fondamentale non ulteriormente scomponibile che sta alla base della materia, è una scienza che insegue l’ingenuo tentativo di quantificare l’infinito. La geometria frattale non solo ha ribadito questa impossibilità, ma ha riaperto il discorso pitagorico, nel senso che ci ha fatto intravedere come in quella dimensione cosiddetta caotica, che oggi la scienza definisce assolutamente non misurabile e tale da far pensare che il mondo è nato dal caso, proprio quel mondo caotico, studiato con i computers moderni, che possono spingere il livello di calcolo dove la capacità umana non sarebbe mai potuta arrivare, sta rivelando la possibilità di quella dimensione di rigore matematico che Pitagora e Platone avevano posto come radice ultima del mondo.

Riportiamo di seguito alcuni stralci dei discorsi fatti da Lorenz e Mandelbrot nel filmato sopra citato.

 

“Sospettai (é Lorenz che parla) che ci fosse un guasto nella macchina (Lorenz si riferisce ad un esperimento da lui compiuto riguardante le previsioni meteorologiche), ma poi mi accorsi che i dati che avevo introdotto erano leggermente diversi da quelli originali, erano numeri arrotondati e la  piccola differenza tra i numeri a sei cifre decimali e gli stessi numeri arrotondati a tre cifre decimali, si era amplificata nei due mesi di simulazione atmosferica al punto che la differenza ora era diventata grande quanto il segnale stesso e questo voleva dire che se l’atmosfera reale si comporta così, allora non è possibile fare previsioni a due mesi perché questi piccoli errori di osservazione si amplificano e diventano grandissimi.”

“Perché questo risultato ha scosso la visione tradizionale del mondo? Supponiamo, per semplicità, di conoscere con precisione le leggi naturali che regolano il comportamento di un sistema fisico, per esempio di un pendolo. Queste leggi si possono esprimere con formule matematiche, conoscendo con precisione lo stato di un sistema in un istante iniziale, possiamo prevederne lo sviluppo in qualsiasi istante futuro, in sostanza ciò doveva valere anche per il modello di previsione meteorologico studiato da Lorenz, cioè se conosciamo approssimativamente la temperatura, l’umidità, la pressione barometrica e così via in un istante iniziale, dovremmo essere in grado di calcolarne approssimativamente lo sviluppo futuro. Gli scienziati pensavano che la regola fosse più o meno questa, bene, l’esperimento di Lorenz mette in discussione proprio questa convinzione. Riportiamo indietro il sistema allo stato iniziale, se modifichiamo anche di pochissimo i valori iniziali, arrotondandoli come fece Lorenz, oppure perché una farfalla ha battuto le ali, lo sviluppo del modello è talmente diverso che ogni previsione perde significato. Gli scienziati sono rimasti sconcertati scoprendo che il caos non è un’eccezione, bensì una manifestazione normale della natura, in passato ciò era sfuggito, perché mancava un linguaggio adeguato. Di fronte a un fenomeno che si manifestava perfino nei sistemi più semplici la scienza restava muta.”

Nel filmato viene evidenziato un esperimento che mette in luce i rapporti tra caos e frattali.

“ Questa pallina di ferro sospesa a un filo (é sempre Lorenz che parla) è soggetta alla forza di gravità e all’azione di tre magneti. Se portiamo il pendolo in una qualsiasi posizione iniziale e lo lasciamo andare, prima o poi esso si fermerà su uno dei magneti; ma su quale? Ciò dipende solo dalla sua  posizione iniziale, ciascun magnete attrae la pallina se viene lasciata libera nelle sue immediate vicinanze, ma l’attrae anche se viene liberata più lontano; la situazione è  complessa e difficilissima da capire per via sperimentale; una simulazione al calcolatore può esserci d’aiuto. Coloriamo il punto da cui la pallina parte con il colore del magnete su cui si fermerà, per ottenere un’idea d’insieme coloriamo una serie di punti distribuiti in maniera uniforme su tutto il piano, i quadrati colorati rappresentano solo i loro centri. Possiamo anche raffinare la struttura usando una griglia più fitta di punti campione, o una griglia ancora più fitta, o una griglia più fitta ancora; i colori si mescolano e si forma così una struttura molto complessa (nel filmato si può osservare con chiarezza che, quando l’approssimazione del calcolo è rozza appaiono solo macchie di colore, quando invece il calcolatore spinge l’esame sulle stesse zone in scala molto più spinta le macchie iniziali nettamente distinte appaiono ora in un contesto in cui le sfumature sempre diverse nelle zone di confine conferiscono all’insieme una connotazione esteticamente interessante); come si può interpretare questa immagine? Per certe zone è molto chiaro, tutte le palline che partono da una regione blu, si fermano sul magnete blu, se parte da qui, la pallina si ferma sul magnete rosso, se parte da questa posizione, spostata solo di poco finisce sul magnete giallo, e se parte da una posizione intermedia su quello blu. Sembra che i magneti si  contendano le palline fin dentro i minimi anfratti; prevedere il comportamento delle palline in questa regione è un’impresa quasi disperata: qui regna sovrano il caos.”

 

Alcune riflessioni. Viene detto che nelle zone di confine regna sovrano il caos e poco prima era stato detto che il caos non è un’eccezione, ma è la regola del mondo; se si arriva a questa constatazione e si tiene presente che la caratteristica peculiare della dimensione scientifica consiste nel ribadire che se non si è giunti alla verifica concreta non si può dire che quel particolare fenomeno è l’effetto di una legge naturale, ne consegue che sul piano dei fenomeni da essa definiti caotici, le condizioni sperimentali, basilari per la scienza, sono impossibili.

Proprio qui, dove la scienza contemporanea ha toccato con mano che la realtà, che per tanti secoli è stata ritenuta finita e, perciò, misurabile, è invece incommensurabile, si può inserire il discorso del filosofo il quale, pur grato alla matematica per il fatto che essa costituisce la base indispensabile che ha consentito lo sviluppo della moderna tecnologia, che ha per molti versi semplificato i problemi concreti della vita, non può e non vuole fermarsi alla constatazione della impossibilità di portare a termine il progetto scientifico di prendere le misure della realtà. Anche il filosofo vuole scoprire il senso del mondo, ma, nel momento in cui la dimensione materiale della realtà si rivela non adeguata alle aspettative della scienza, recupera proprio l’elemento di crisi scientifica come sorgente di considerazioni che, dal punto di vista logico, hanno una loro coerenza.

Ripartiamo da capo sintetizzando:

 

1.          Non è vero che nella realtà ci siano fenomeni che riproducano le forme perfette previste dalla –usiamo il termine pitagorico– aritmogeometria.

 

2.          Lorenz, afferma che “gli scienziati sono rimasti sconcertati scoprendo che il caos non è un’eccezione, bensì una manifestazione normale della natura; in passato ciò era sfuggito, perché mancava un linguaggio adeguato”.

 

3.          I tentativi di studiare e quantificare i fenomeni della natura usando carta e matita, intendendo con ciò gli strumenti di cui l’uomo può disporre utilizzando le sue normali capacità, danno origine, sul piano della risoluzione dei problemi concreti della vita, a soluzioni accettabili, in quanto l’approssimazione di cui ci si accontenta consente di superare le difficoltà che si intendevano risolvere.

 

4.          I tentativi di cui al punto 3., se spinti oltre una certa soglia, portano alla constatazione che ci troviamo di fronte ad una realtà caotica, cioè incomprensibile e imprevedibile.

 

5.          L’utilizzo dei nuovi strumenti di calcolo, che spingono le possibilità di analisi su un piano di precisione e di velocità assolutamente irrealizzabili dall’uomo (vedi il punto 3.), porta a scoprire che quegli stessi fenomeni, che all’occhio umano appaiono come macchie di colore senza senso, nella grafica resa possibile dal computer, possono manifestarsi come forme esteticamente affascinanti e, insieme, inquietanti, dal momento che, per quanto si modifichino i dati di partenza, il prodotto finale pur assumendo forme diverse raggiunge sempre un risultato complessivo esteticamente affascinante. Tutto ciò porta il filosofo ad ipotizzare che il caos constatato dalla scienza è in realtà il Caos, con la “c” maiuscola: è quel Dio che la scienza non ha più voluto prendere in considerazione, perché banalizzato e antropomorfizzato dalle religioni storiche, ma che la scienza stessa sta riscoprendo come limite irraggiungibile e che i più grandi filosofi hanno proposto come Infinito e se, in quanto tale, mistero per l’uomo, pur sempre intuibile, al limite, come senso del mondo: senso del mondo che i mistici di tutte le religioni hanno sempre sentito e vissuto come esperienza di vita interiore, che nessuna teologia potrà mai analizzare.

 

6.          La matematica e la geometria frattale ci ripropongono il piano della metalogica di Eraclito e Pitagora e ci fanno intuire il motivo per cui la scienza occidentale stia riscoprendo provocazioni filosofiche tipiche della cultura taoista, che l’esoterismo ha sempre conservato.

 

Torniamo al commento delle affermazioni sopra riportate in corsivo, tratte dal filmato sui frattali.

L’analisi, che i computers consentono su quella dimensione di fenomeni che gli scienziati chiamano caotica, rivela in realtà proprio quella metalogica che abbiamo visto in Eraclito e Pitagora, che sconvolge la nostra abitudine alle distinzioni definitive, per cui questo è bianco quello è nero, questo è giusto quello è falso, questo è buono quello è cattivo, ... perché se arriviamo nella zona di confine tra il bianco e il nero, tra il vero e il falso, tra il buono e il cattivo scopriamo che proprio dove sembrerebbe non esserci più nessuna possibilità di scelta per l’una o per l’altra, lì si aprono di nuovo entrambe le scelte: di nuovo quella linea, che sembrava una linea sola, si rivela non solo doppia, ma rivela una dimensione di potenza infinita.

A questo proposito, il filmato partiva con l’esempio della misurazione delle coste della Gran Bretagna e faceva osservare che quanto più l’unità di misura utilizzata diventa precisa, cioè più piccola, che ci consente di andare a misurare cose che prima erano sfuggite, tanto più lunga risulta la costa, con la prospettiva di giungere a una lunghezza di costa infinita utilizzando una unità di misura infinitamente piccola.

In realtà, per le nostre esigenze, non andiamo a pretendere dal cartografo che vada a misurarci il terreno con il centimetro, ma se la ricerca si spingesse oltre una certa soglia, arriveremmo di nuovo ai paradossi di Zenone.

Possiamo citare due esempi: uno è l’isola di Koch e l’altro la spugna di Sierpinski.

Per rendere meglio l’idea, citiamo testualmente testo e disegni tratti dall’opera di K. Devlin, Dove va la matematica, (Bollati Boringhieri, Torino, 1994 (1998), pp. 91-94):

 

[…] Un’entità matematica analoga alla linea costiera non misurabile di Mandelbrot è offerta da una figura geometrica studiata per la prima volta da Helge von Koch nel 1904, che noi chiameremo isola di Koch. La figura 4.2a mostra l’isola di Koch vista da un razzo nello spazio interplanetario; da questa distanza ha esattamente l’aspetto di un triangolo equilatero. Man mano che il razzo si avvicina alla Terra, appare chiaro che ciascuno dei tre lati in realtà contiene un promontorio a forma di triangolo equilatero, che occupa la parte centrale del lato per un terzo della sua lunghezza (fig. 4.2b); se la lunghezza del perimetro nella figura 4.2a è di 3 unità, quella nella figura 4.2b sarà 3x4/3 unità.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Avvicinandoci ancora di più, ci accorgeremo che, allo stesso modo, ciascuno dei dodici lati che vedevamo prima contiene un promontorio a forma di un triangolo equilatero che ne occupa la terza parte centrale (fig. 4.2c); la lunghezza del perimetro adesso è 3x4/3x4/3 unità. La figura 4.3 mostra l’isola da una distanza molto ravvicinata, con una rilevazione di dettagli sempre più particolareggiati e offre qualche indicazione sulla reale forma dell’isola di Koch.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Per il matematico, l’aspetto più interessante della questione è la regolarità con cui appaiono i dettagli ai livelli successivi: a ogni stadio la parte centrale di ogni segmento della costa è rimpiazzata da due segmenti, ciascuno della medesima lunghezza della parte sostituita, come si vede nella figura 4.4.

Come si può dedurre osservando le figure 4.2 e 4.3, l’isola di Koch, dal punto di vista matematico, ha una forma ben definita, di cui la figura 4.3 offre una buona approssimazione per quanto l’occhio umano riesca a distinguere. La linea costiera dell’isola di Koch, se la si vuole definire da un punto di vista matematico, è la “curva” che corrisponde al limite della successione infinita di approssimazioni, le prime tre delle quali sono mostrate nella figura 4.2. A questo punto la matematica si sostituisce alla cartografia: matematicamente parlando, questa curva limite è definita in modo preciso e, come qualunque altra curva, consiste in un numero infinito di punti allineati in modo da formare una linea continua. Il processo per arrivare alla curva limite è analogo a quello per arrivare al numero 1/3 come limite della successione infinita di decimali

 

                                           0,3  0,33  0,333  0,3333  0,33333 … .

 

Poiché l’isola di Koch è una porzione definita del piano, essa avrà un’area definita. Il valore numerico della sua superficie dipenderà naturalmente dalle unità di misura che verranno impiegate, ma sarà senz’altro finito. Esso può essere calcolato come il limite di una successione di numeri, in maniera molto simile all’esempio del numero 1/3, ed è in realtà esattamente 1,6 volte l’area del triangolo della figura 4.2a. Ma qual è la lunghezza della linea costiera che delimita questa superficie finita? Ebbene, ciascuno stadio successivo del processo aumenta la lunghezza della linea costiera di 4/3, e quindi quando si raggiungerà la curva di Koch (nome dato alla curva perimetrale) questo aumento di 4/3 si sarà verificato un numero infinito di volte: dunque la lunghezza della curva di Koch è infinita.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Come può una superficie finita avere un perimetro infinito? Le stesse figure 4.2 e 4.3 forniscono la risposta. Ad ogni approssimazione successiva, la curva perimetrale si deforma da un lato all’altro per l’intera lunghezza. Queste deformazioni possono essere disegnate in dettaglio, purché si usi una scala adatta, ma quando si arriva alla curva di Koch la deformazione è avvenuta infinite volte. Si verifica allora qualcosa di molto strano: interviene una nuova dimensione. […]

 

Questa nuova dimensione non ci riporta “soltanto” ai paradossi di Zenone, ma ci permette di svilupparli ulteriormente tanto da intuire, all’interno della medesima dimensione paradossale, potenzialità nuove, che il filosofo greco non poteva ancora scorgere ed è, nel filmato sui frattali, il discorso relativo agli attrattori, che nascondono nella loro profondità infinitesimale il salto dimensionale dalla linea pura e semplice alla superficie e, da questa, al solido. Ciò che i matematici colgono come “salto”, perché costituisce una provocazione alla logica delle distinzioni nette a cui non vogliamo rinunciare è, dal punto di vista filosofico, la “logica” conseguenza del fatto che l’Essere è uno e, quindi, quelle dimensioni che noi distinguiamo come, ad esempio, la superficie bidimensionale e il volume tridimensionale, sono in realtà perfettamente coincidenti nel continuum dell’Essere: era l’intuizione spinoziana per cui Dio è la Sostanza, che si esprime in infiniti attributi: l’uomo, sempre secondo Spinoza, ne coglie solo due, come pensiero e realtà materiale. Quando Cartesio cercherà di individuare in quale punto del corpo umano poteva essere radicata la realtà immateriale dell’anima, dimostrerà di utilizzare la rozza certezza delle distinzioni definitive, propria della logica occidentale, mentre ora stiamo assistendo al riemergere lento, ma ineludibile, della metalogica dell’unicità dell’Essere, all’“interno” del quale, come infinito, le distinzioni a cui non vogliamo rinunciare ci fanno sbattere il naso contro i paradossi di Zenone.

Come può una misura perimetrale infinita racchiudere una superficie finita? Torniamo al problema della quadratura del cerchio, perché per calcolare la circonferenza noi utilizziamo un sistema di misurazione che presuppone che la circonferenza sia un poligono di infiniti lati e il nostro calcolo si basa su questa dimensione di approssimazione, per cui il cerchio ha un’area finita, racchiusa da una circonferenza che noi finitizziamo, ma con una approssimazione, mentre in realtà la circonferenza, con i suoi infiniti punti che la costituiscono, nasconde–rivela il segreto di Dio.

 

A questo punto proseguiamo ancora nelle provocazioni fino a giungere all’esempio della spugna di Sierpinski, (K. Devlin, Dove va la matematica, (Bollati Boringhieri, Torino, 1994 (1998), pp. 94 – 98):

 

(Pagg. 94 – 95) […] Per quanto attiene all’esperienza umana, l’universo in cui viviamo ha solo tre dimensioni, anche se la teoria della relatività considera il tempo come una “quarta dimensione”, e alcune moderne teorie fisiche arrivano ad attribuire undici dimensioni all’universo (le tre che percepiamo fisicamente più altre otto che si manifestano come le forze basilari della natura: gravità, magnetismo e così via). Ma per il matematico la tridimensionalità non occupa un posto privilegiato. E’ possibile prendere in considerazione spazi di quattro o più dimensioni, cosa che avviene abitualmente. Sebbene non possano essere rappresentati dalla geometria tradizionale, questi spazi multidimensionali possono essere di reale uso pratico (si noti, comunque, che tutte queste dimensioni sono ancora numeri interi)...[…]

Che cosa c’entra la linea costiera di Koch con tutto ciò? Essendo una curva, la si potrebbe pensare unidimensionale; ma questo non è vero: per quanto ciascuna delle approssimazioni alla curva di Koch che si ottengono con il processo sopra descritto sia unidimensionale, la curva limite non lo è. Quando la direzione di percorrenza cambia un numero infinito di volte, non ci troviamo più in un mondo a noi familiare; in realtà, nemmeno l’uso della parola “direzione” è qui del tutto giustificato. Quindi non possiamo sperare di attribuire una dimensione alla curva di Koch parlando di direzione del movimento, ma dobbiamo trovare un modo nuovo di giungere al concetto di dimensione che non dipenda dalla direzione.

E’ opportuno utilizzare un metodo che si adatti alla natura della curva di Koch. La sua caratteristica basilare è l’autosomiglianza: le parti, in scala ridotta, sono simili al tutto. […]

(Pag. 97) […] Non solo le curve possono avere dimensioni frazionarie; si possono costruire anche “superfici” e “solidi” altrettanto originali adottando procedure di autoriproduzione. Per esempio, partendo da un cubo e rimuovendo successivamente le parti centrali si arriva alla fine, cioè dopo un numero infinito di ripetizioni, a un oggetto noto come la spugna di Sierpinski (D=2,7268), la cui struttura appare nella figura 4.7.  Questo oggetto incredibile ha un volume zero racchiuso da una superficie infinita. Ciascuna faccia esterna è nota come tappeto di Sierpinski e ha una superficie zero delimitata da un perimetro infinito. La dimensione del tappeto di Sierpinski è D=1,2618, la stessa della curva di Koch. […]

 

Qui la provocazione diventa ancora più dura, perché prima avevamo un perimetro infinito che racchiude un’area finita, qui, adesso, abbiamo una superficie infinita che racchiude un volume zero, abbiamo due “infiniti opposti” che diventano compresenti, coincidenti: è il discorso di Cusano, quando parla di Dio come coincidentia oppositorum, per cui in Dio, l’infinitamente grande e l’infinitamente piccolo, coincidono e non è più possibile dire questo è piccolo e questo è grande, perché, nella dimensione dell’infinito, il grande e il piccolo scompaiono come termini significativi, dal momento che scompare qualunque punto di riferimento.

La teoria frattale, come area della matematica “figlia” dell’era del computer, riporta alle provocazioni di Cusano e alle provocazioni di Zenone. Questa riscoperta dei matematici moderni, si inserisce in quella caduta di certezze a cui il secolo XX ormai ci ha abituati con la fisica, per cui tutto nel mondo è caos, tutto nel mondo è dimensione che, a livelli infinitesimali, diventa qualcosa che sfuggirà per sempre alla pretesa dell’uomo di poterla dominare e diventa quindi un ulteriore elemento di negatività, in una situazione che porta l’essere umano, in balia di tecnologie che sfuggono di mano, a causa anche di interessi economici che sono ormai più potenti delle strutture statali, a sentirsi più frustrato che mai e tendenzialmente portato a cedere al pessimismo di chi è giunto ad elaborare la dottrina del “pensiero debole”: la materia si sta dimostrando sfuggente e incontrollabile, il pensiero dell’uomo si rivela impotente e velleitario e ben si comprende la battuta di Woody Allen, che sintetizza il vuoto che si è aperto sotto i nostri piedi: “Dio è morto, Marx è morto e neanche io mi sento molto bene”.

Non c’è, però, soltanto la filosofia del “pensiero debole”. Per chi crede o vuole credere che il mondo ha un senso, la teoria frattale, e la conseguente riscoperta delle problematiche evidenziate oltre venticinque secoli fa da Zenone e Pitagora e accuratamente custodite dall’esoterismo, costituisce invece un’ulteriore conferma che la soluzione si trova su un piano nel quale si trovano sublimate le istanze più profonde della filosofia, della religione e della scienza.

Coloro che hanno questo tipo di posizione fanno una proposta esattamente opposta, osservando che la teoria frattale permette di pensare a noi stessi in termini diversi: a chi pretende di affermare che ciascuno di noi, come corpo fisico, è una struttura finita perché, ad esempio, in questo momento siamo in un preciso punto della Terra e occupiamo un certo volume nello spazio, la teoria frattale permette di opporre la domanda: quali sono i “contorni” che racchiudono quello che chiamiamo “il nostro io”? Non stiamo parlando soltanto di epidermide o di campo biomagnetico,  stiamo parlando anche del fatto che ciascuno di noi ha una certa età e questi anni trascorsi ci qualificano come storia passata ma, contemporaneamente, contengono potenzialmente quello che chiamiamo il nostro futuro. In altre parole, ciò che ci costituisce come essenza non è soltanto la nostra struttura fisica, ma è anche il nostro passato, il nostro divenire e, sotto questo punto di vista, quand’è che il nostro io ha cominciato a esserci? Nel momento in cui, come neonati, siamo stati partoriti e abbiamo visto la luce, nel momento in cui è avvenuta la fecondazione dell’ovulo, nel momento in cui sono comparsi quelli che sarebbero poi stati l’ovulo fecondato e lo spermatozoo fecondante o nel momento in cui sono nati quegli esseri umani capaci di produrre l’ovulo e lo spermatozoo, dalla cui unione si è determinato il mio corredo genetico e cromosomico, …?

Dove possiamo veramente individuare il nostro inizio? Quella che noi continuiamo a pensare come realtà finita ha le radici nell’infinito: ciascuno di noi sottolinea la propria individualità e si considera diverso da Andrea, Giacomo, Giulio; magari ringrazia Dio tutte le mattine per il fatto di non essere nato femmina; gli altri, anzi, sono dei cretini, io sì che ho capito tutto, loro sono dalla parte del torto, loro sono neri e io sono bianco… .

Quando coltiviamo questi pensieri ci autofinitizziamo, perché ci contrapponiamo a qualcun altro, ignorando che in realtà siamo l’espressione di una dimensione infinita: le nostre radici si perdono e si dilatano smisuratamente nel passato, così come tutte le nostre scelte mettono in moto forze che si proiettano nell’ipertesto degli infiniti universi possibili. Altro che battito d’ali di una farfalla. In quanto espressione e portatori dell’infinito siamo autentiche scintille di Dio, così come, su piani diversi, lo esprimono il fiore, il granello di sabbia,… fino alle galassie.

La teoria frattale ci ha visivamente dimostrato che, nel momento in cui si spinge l’analisi oltre una certa soglia, molto al di sopra delle capacità percettive dei nostri sensi, che possono “vedere” solo delle caotiche macchie, si scoprono arabeschi esteticamente affascinanti e, con ciò, si hanno risultati che confermano le dottrine di Pitagora e Platone, vale a dire che il mondo, se lo sai vedere con gli occhi giusti, è rigore, giustizia assoluta, ma è anche armonia e bellezza: tutto questo porta alla dimensione religiosa, intesa come la capacità di saper guardare a noi stessi e al mondo con la certezza che tutto ciò che ci succede ha un senso.

E’ questo, secondo noi, il primo possibile messaggio della teoria frattale che può essere utilizzato filosoficamente, ma ce n’è un secondo, suggerito da Lorenz, quando parla degli attrattori: “il punto sembra muoversi lungo queste spirali che giacciono su un piano, ma arriva a un certo punto in cui si stacca e dal piano si entra nella terza dimensione”; in altre parole, quando il contorno dell’isola di Koch raggiunge la dimensione dell’infinito si esce dal piano e si entra in una dimensione diversa. Quindi, ed è il nuovo paradosso, non è affatto vero che la dimensione infinita del perimetro racchiude una dimensione finita di superficie, perché oltre una certa soglia non è più un piano, ma diventa un solido e diventano infinite le superfici che si sovrappongono determinando, ancora, un nuovo processo infinito di riproduzione, che i matematici hanno definito di “autosomiglianza”; quell’autosomiglianza in base alla quale se noi prendiamo un cavolfiore e ne stacchiamo un germoglio qualsiasi, avremo sempre una struttura di base che lo fa definire come un cavolfiore, senza mai ripetersi in modo perfettamente uguale. E, questo, per tutti i cavolfiori del mondo, tra i quali non si troverà mai un esemplare che sia la copia esatta di un cavolfiore già visto.

Ancora una volta ci troviamo in presenza di quei paradossi che solo la dimensione dell’infinito rivela; solo chi ha il coraggio di addentrarsi su questo piano può arrivare a intuizioni che ai più sfuggono, come la proposta leibniziana degli infiniti universi che, in Dio, coesistono eternamente come realtà in atto mentre, per noi, nella dimensione finita, ognuno di essi esclude gli altri; per cui se ci sintonizziamo sul finito e viviamo radicati in uno di questi universi, non potremo mai vedere gli altri: Luigi che è andato a Torino, non potrà vedere contemporaneamente “il” Luigi che è rimasto a Milano, eppure in Dio coesistono entrambi realmente.

Il lettore si chiederà se siamo eternamente condannati a questa impossibilità. Dal nostro punto di vista rispondiamo di no, perché se è vero che siamo ancora parenti prossimi dell’animale, che vive l’attimo e non è capace di ricordare il passato e di  anticipare il futuro, siamo però anche già capaci di utilizzare il tempo come una forma di energia liberatoria e, aumentando la nostra consapevolezza, possiamo arrivare a sceglierci con sempre maggiore determinazione il futuro. Proprio perché ricordiamo che d’inverno fa freddo, siamo capaci, unici tra gli animali, di scegliere volontariamente di sudare sotto il sole di luglio a segare e spaccare legna, perché pensiamo all’inverno futuro; gli animali che fanno qualcosa di analogo sono dominati dall'istinto e non sono in grado di scegliere individualmente il proprio comportamento: non vedrete mai una formica che interrompe la fila e si ferma a mangiare un po’ del cibo che sta portando al nido, mentre noi possiamo decidere, in qualunque momento, di fermarci interrompendo il lavoro che stiamo portando avanti.

Nel momento in cui facciamo queste scelte, proprio perché ricordiamo il passato e anticipiamo il futuro, ci mettiamo nella condizione di andare a vedere, tra gli infiniti universi possibili, quello in cui avremo la catasta di legna pronta per l’inverno. Naturalmente poi, proprio perché siamo immersi nell’infinito, non avremo mai la certezza assoluta che la scorta di legna sia sufficiente, perché i possibili eventi imprevisti che potrebbero azzerare la nostra previsione sono troppi, ma questo rientra proprio nella dimensione di infinito in cui siamo immersi.

Ancora una volta si riapre qui lo spazio per la fede come unica scelta che possiamo fare, perché altrimenti ricadiamo nella dimensione filosofica che fa sua la pretesa dello scienziato di prendere le misure di Dio: la filosofia non ci deve portare a dire che abbiamo capito tutto, ci serve per cogliere i nostri limiti e credere in Dio come radice ultima e, di conseguenza, avendo capito che le nostre radici hanno questa infinita potenza, ci permette, pur nella consapevolezza dei nostri attuali limiti, di recuperare la certezza di poter evolvere e crescere.

In altre parole, grazie alla filosofia possiamo giungere ad una religiosità meno “ingenua”, per cui Dio diventa il senso del mondo e la fede consiste, appunto, nel credere che il mondo ha un senso. Con questo non abbiamo la pretesa di andarlo a verificare fino in fondo, ma per un credente è una grande consolazione constatare che la teoria dei frattali è un nuovo sviluppo della matematica che ci ha permesso di giungere a considerazioni che l’esoterismo ha da sempre proposto. I matematici che, grazie alle possibilità offerte dai moderni calcolatori, hanno scoperto le nuove frontiere degli “oggetti frattali” possono anche essere e rimanere lontani dalla fede propria di un credente, ma quest’ultimo, che dal fascino geometrico della galaverna prodotta dalla rigida temperatura invernale risaliva alla suprema intelligenza che si rivela nel mondo, rimane ulteriormente confermato nella propria fede, nel momento in cui la teoria frattale comincia a intuire il tipo di algoritmi matematici che possono spiegare l’infinita varietà e armonia che regna nella natura: come esempio tra gli infiniti possibili proviamo a pensare al fatto che ogni gemma di un albero è un “oggetto frattale”, capace di riprodursi in modo sempre nuovo e, contemporaneamente, sempre autosomigliante, per cui le foglie e i frutti che nasceranno da quelle gemme saranno sempre e soltanto di quel certo tipo di pianta e non altro.

Possiamo aggiungere che, se lo studioso, che con la propria logica ha elaborato l’algoritmo e ha prodotto il software che permette alla tecnologia di mettere sotto i nostri occhi la bellezza del mondo frattale, si tiene prudentemente lontano dalle certezze proprie della fede, è anche perché nei secoli scorsi ha dovuto lottare duramente contro le Chiese storicamente sviluppatesi che hanno sempre avuto paura della scienza, colpevole di mettere in discussione i dogmi su cui la classe sacerdotale ha radicato i privilegi sociali a cui non vuole rinunciare. La dimensione religiosa che, invece, l’esoterismo propone non solo non ha paura della scienza, ma la vede anzi come un’ulteriore possibilità di aumentare la conoscenza dell’uomo, che ci permette di scoprire, in modo sempre più convincente, il Logos che regge il mondo e che, nella sua infinita potenza, cogliamo come un abisso vertiginoso e affascinante, ... come il mondo dei frattali.

Il paradosso frattale della linea prodotta dal punto in movimento sul piano che, al limite, cessa di appartenere al piano per entrare nella terza dimensione, in un processo che si sviluppa con originalità infinita, ci riporta a Leibniz, che era giunto a queste intuizioni riflettendo sullo sviluppo del medesimo seme capace di produrre legname, foglie, semi, essenze,… e con la capacità di giungere a colonizzare un intero pianeta: espressione dell’infinita potenza che si esprime in ogni pur minimo dettaglio del mondo, come realtà che nel divenire esprime l’intelligenza divina, in quella forma che l’uomo non può dominare e che, proprio per questo, la prudenza scientifica definisce caos.

L’esoterismo non ha la pretesa di insegnare agli scienziati che cos’è il mondo, ma, più semplicemente, ci permette di utilizzare tranquillamente e con grande soddisfazione i prodotti tecnologici che quella scienza è in grado di produrre e, intanto, ci riconcilia con la vita, ci riporta in un mondo che ha  senso, cosa che la scienza non può permettersi di fare.

Tutto questo ci consente di non diventare succubi della tecnologia, recuperando, con la nuova consapevolezza raggiunta da una fede che si è riconciliata con la scienza, quella serenità che oggi i più cercano vanamente inseguendo lo sviluppo tecnologico nato da una scienza senza anima.

Si è schiavi della tecnologia nel senso che, per esempio, non avremo mai automobili sufficientemente veloci, perché avremo sempre voglia di qualcosa che vada più veloce ancora, quando invece possiamo riflettere con serenità sul fatto che soltanto cento anni fa nessun sovrano, neanche il più potente sovrano del mondo, era in grado di viaggiare, come noi ora, con l’aria condizionata, sentendo della buona musica, difesi dalla polvere e dalle asperità della strada; riusciamo, invece, a mettere in mostra la nostra scontentezza e la conseguente aggressività al minimo rallentamento del traffico.

Tutto questo perché non abbiamo ancora capito che ciascuno di noi è, dal punto di vista materiale, una superficie finita che, però, racchiude una potenzialità di coscienza infinita: in ciascuno di noi, con il processo di sviluppo di autosomiglianza, l’archetipo divino di infinita potenza si esprime e si diversifica nella realtà dello spazio e del tempo, che è il nostro attuale livello di percezione dell’eterna-infinita identità di Dio con se stesso.

 

Torniamo ancora a quel che viene detto nel filmato:

 

“ […] Qui regna sovrano il caos. Tutti i punti gialli presi insieme formano il dominio del magnete giallo, il suo cosiddetto bacino di attrazione; è una struttura che presenta fibre anche sottilissime, che si intrecciano in modo disordinato. Partendo da un punto qualsiasi del bacino la pallina finisce sul magnete giallo e quanto più tempo ci mette per fermarsi tanto più scuro è il colore della sottoregione corrispondente; partendo da qui si ferma subito, poi le occorre un tempo sempre più lungo. La forma delle regioni di attrazione può cambiare parecchio se mutano le condizioni sperimentali, cioè le grandezze che i matematici chiamano parametri, per esempio la lunghezza del filo, l’intensità dell’attrazione magnetica, di quella gravitazionale e così via. In questa simulazione al calcolatore è facile ridurre la forza gravitazionale della Terra a quella della Luna e far sì che le strutture si districhino pian piano l’una dall’altra, poi la forza gravitazionale viene riportata al valore che ha sulla Terra, in ogni caso osserviamo un fenomeno curioso, ovunque i due colori si incontrano sembra che si interponga una sottile striscia del terzo colore; per quanto si può verificare questa proprietà si mantiene fino alle ramificazioni più sottili; è giusta quest’impressione? Può esistere una tale linea di demarcazione infinitamente frastagliata? La risposta è sì.

 

E’ l’infinito che si rivela.

Ci fermiamo qui,  perché adesso entra in gioco tutto un discorso tecnico che potrebbe essere ripreso e approfondito soltanto da un matematico e, in questa sede, diventerebbe impegnativo e tedioso per i più.

La matematica con Leibniz e Newton ha riscoperto l’infinito, la geometria frattale adesso dà la possibilità, anche alle persone che non hanno la capacità di intuire con mente matematica questi giochi sottilissimi, di vederli graficamente sviluppati su un monitor, semplicemente perché alla radice di questi disegni c’è la  potenza di calcolo di un computer: sono passate poche generazioni e ciò che solo pochi matematici erano in grado di intuire adesso lo possiamo vedere tutti.

E’ l’infinito che si rivela alla radice di quella dimensione che nella nostra limitatezza continuiamo a chiamare caos, l’infinito che, per il credente, ha alla sua radice sempre algoritmi matematici.

Se poi si modifica la lunghezza del filo, se si modificano la potenza e la posizione dei tre magneti cambia sempre tutto, ma alla fine non è che venga sconvolto un disegno, che da bello che era diventa brutto: il disegno diventa diverso, ma è sempre affascinante. Sono cambiati i parametri ma non  l’algoritmo matematico attraverso il quale si esprime l’ordine e la perfezione delle leggi che governano i fenomeni.

Come dire che, da qualunque parti lo si guardi, il mondo rivela, a chi ha la capacità di esaminarlo in profondità facendone emergere la dimensione razionale, la presenza di Dio.